Bir kürenin yarıçapı saniyede 4 cm hızla artıyorsa, çap 80 cm olduğunda hacim ne kadar hızlı artar?

Cevap:

12,800cm3s

Açıklama:

Bu klasik bir İlişkili Fiyatlar problemidir. İlişkili Oranların arkasındaki fikir, sayılar değişse bile değişmeyen geometrik bir modeliniz olmasıdır.

Örneğin, bu şekil boyut değiştirirken bile bir küre olarak kalacaktır. Bir cildin hacmi ve yarıçapı arasındaki ilişki

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Bu sürece geometrik ilişki küre büyüdükçe değişmez, o zaman bu ilişkiyi dolaylı olarak türetebiliriz ve değişim oranları arasında yeni bir ilişki bulabiliriz.

Örtük farklılaşma, formüldeki her değişkeni türettiğimiz yerdir ve bu durumda, formül zamana göre türetilir.

Böylece küremizin türevini alıyoruz:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (DV) / (DT) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (DV) / (DT) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Aslında verildi # (Dr) / (dt) #. Onun 4. (cm) / s #.

Biz anın ilgilendiği an çap 80 cm olan yarıçap 40 cm olacak.

Hacmin artış oranı # (DV) / (dt) #, aradığımız şey bu, yani:

# (DV) / (DT) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (DV) / (DT) = 4pi (40cm) ^ 2 (4 (cm) / saniye) #

# (DV) / (DT) = 4pi (1600 cW ^ 2) (4 (cm) / saniye) #

# (DV) / (DT) = 4pi (1600 cW ^ 2) (4 (cm) / saniye) #

# (DV) / (DT) = 12.800 (cm ^ 3) / s #

Üstelik birimler bile doğru çalışıyor, çünkü zamana bölünmüş bir hacme ihtiyacımız var.

Bu yardımcı olur umarım.