Zemine sızan su dairesel bir havuz oluşturur. Havuzun yarıçapı 4 cm / dak oranında artar. Yarıçapı 5 cm olduğunda havuz alanı ne kadar hızlı artar?

Cevap:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ dak" #

Açıklama:

İlk önce, bir dairenin alanı, havuz ve yarıçapı ile ilgili bildiğimiz bir denklemle başlamalıyız:

# A = pir ^ 2 #

Bununla birlikte, havuzun alanının ne kadar hızlı arttığını görmek istiyoruz, bu da bir türev gibi, kulağa çok benziyor.

Eğer türevini alırsak # A = pir ^ 2 # zamana göre, # T #, şunu görüyoruz:

# (DA) / dt = pi * 2R * (dr) / dt #

(Zincir kuralının sağ tarafta geçerli olduğunu unutmayın # R ^ 2 #- bu örtük farklılaşmaya benzer.)

Yani belirlemek istiyoruz # (DA) / dt #. Soru bize söyledi # (Dr) / dt = 4 # "Havuzun yarıçapı" oranında arttığında #4# cm / dak, "ve biz de bulmak istediğimizi biliyoruz # (DA) / dt # ne zaman # R = 5 #. Bu değerleri takarak şunu görüyoruz:

# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Bunu kelimelere dökmek için şunu söylüyoruz:

Havuz alanı oranında artmaktadır # Bb40pi # santimetre# "" ^ BB2 #Dairenin yarıçapı / min olduğunda # BB5 # santimetre.

Küresel bir balonun yarıçapı, dakikada 2 santimetre hızında artmaktadır. Yarıçapı 14 santimetre olduğunda ses ne kadar hızlı değişiyor?

1568 * pi cc / dakika Yarıçapı r ise, o zaman t, d / dt (r) zamanına göre r değişim hızı = 2 cm / dakika Küresel bir nesne için yarıçap r'nin bir fonksiyonu olarak Hacim V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 d / dt (V) yi r = 14cm'de bulmamız gerekiyor Şimdi, d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Fakat d / dt (r) = 2cm / dakika. Böylece, d / dt (V), r = 14 cm'dir: 4pi * 14 ^ 2 x 2 küp cm / dakika = 1568 x pi cc / dakika

Ters çevrilmiş bir konik tanktan 10.000 cm3 / dak hızla su akıyor, aynı zamanda su tankın içine sabit bir oranda pompalanıyor. Eğer tank 6 m yüksekliğe sahipse ve üstteki çap 4 m ise ve Suyun yüksekliği 2m olduğunda su seviyesi 20 cm / dak oranında yükseliyorsa, suyun tankın içine pompalanma oranını nasıl buluyorsunuz?

V tanktaki suyun hacmini cm ^ 3 olarak olsun; s, suyun derinlik / yüksekliğini cm cinsinden olsun; ve r, su yüzeyinin yarıçapı olsun (üstte), cm cinsinden. Tank ters çevrilmiş bir koni olduğundan, su kütlesi de aynıdır. Tank 6 m yüksekliğe ve 2 m üstündeki bir yarıçapa sahip olduğundan, benzer üçgenler frak {h} {r} = frak {6} {2} = 3 olduğunu gösterir, böylece h = 3r olur. Tersine çevrilmiş su konisinin hacmi daha sonra V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} olur. Şimdi her iki tarafı da t zamanına göre (dakika cinsinden) ayırın frac {dV} {

Patlamış bir tankerden petrol sızıntısı okyanusun yüzeyindeki bir daireye yayılır. Dökülme alanı 9π m² / dak oranında artar. Yarıçap 10 m olduğunda döküntünün yarıçapı ne kadar hızlı artmaktadır?

Dr. | _ (n = 10) = 0,45 m // dak. Bir dairenin alanı A = pi r ^ 2 olduğundan, elde etmek için her iki taraftaki farkı alabiliriz: dA = 2pirdr Dolayısıyla yarıçap, dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir ) Böylece, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45m // dk.