S.1 Eğer alfa ise, beta, x ^ 2-2x + 3 = 0 denkleminin kökleriyse, kökleri alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 ve beta ^ 3-beta ^ 2 + olan denklemi elde eder. beta + 5?

# S.1 # Eğer #Alfa beta# denklemin kökleri # X ^ 2-2x + 3 = 0 # kökleri olan denklemi elde etmek # alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 # ve # P ^ 3-p ^ 2 + p + 5 #?

Cevap

verilen denklem # X ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

let # alpha = 1 + sqrt2i ve beta = 1-sqrt2i #

Şimdi izin ver

# gama = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 #

# => gama = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa -1 + 2al-1 #

# => Y = (a-1) ^ 3 + alfa-1 + alfa #

# => Y = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => Gama = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

Ve bırak

# Ö = p ^ 3-p ^ 2 + p + 5 #

# => Ö = p ^ 2 (p-1) + p + 5 #

# => Ö = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Ö = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Ö = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Yani ikinci dereceden denklemin kökleri vardır #gamma ve delta # olduğu

# X ^ 2- (y + ö) x + gammadelta = 0 #

# => X ^ 2- (2 + 1) x + 1 * 2 = 0 #

# => X ^ 2-3x + 2 = 0 #

# S.2 # Eğer denklemin bir kökü varsa # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # diğerinin karesi olmak, Kanıtla # B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3ABC #

Bir kök olsun #alfa# o zaman diğer kök olacak # A ^ 2 #

Yani # A ^ 2 + alfa = b / a #

# Alfa ^ 3 c / a #

# => A ^ 3-1 c / a-1 #

# => (A-1), (a ^ 2 + alfa + 1) c / a-1 = (c-a) / a #

# => (A-1), (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (A-1), ((a-b) '/ a)' = (c-a) / a #

# => (A-1) '= (c-a) / (a-b)' #

# => A = (c-a) / (a-b) '+ 1 = (c-b) / (a-b)' #

şimdi #alpha # ikinci dereceden denklemin köklerinden biri olmak # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # yazabiliriz

# Aalpha ^ 2 + BALPHA + c = 0 #

# => Bir ((Cı-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => Bir (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #

# => AC ^ 2-2abc + ab ^ 2 + ABC-ab ^ 2-b ^ 2c + B ^ 3 + ca ^ 2-2abc + B ^ 2c = 0 #

# => B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3ABC #

kanıtlanmış

Alternatif

# Aalpha ^ 2 + BALPHA + c = 0 #

# => Aalpha + b + c / a = 0 #

# => Bir (C / A) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) ^ (1/3) = - b #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (C ^ (2/3) ^ (1/3)) ^ 3 + ^ (1/3), bir 3c ^ (2/3) xxC ^ (2/3) ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => Ca ^ 2 + c ^ 2a + 3Ca (b) = (- b) ^ 3 #

# => B ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3ABC #