[Pi / 2, (3pi) / 4] 'te f (x) = 3x-1 / sinx'in ekzemaları nelerdir?

Cevap:

Etki alanındaki mutlak minimum, yaklaşık olarak oluşur. # (pi / 2, 3,7124) #, ve etki alanında mutlak maksimum yaklaşık olarak oluşur. # (3pi / 4, 5.6544) #. Yerel ekstrema yok.

Açıklama:

Başlamadan önce, analiz edip edemeyeceğimizi görmek bize kalkar #sin x # değerini alır #0# aralıktaki herhangi bir noktada. #sin x # tüm x için sıfırdır, öyle ki #x = npi #. # Pi / 2 # ve # 3pi / 4 # ikisinden de az # Pi # ve daha büyük # 0pi = 0 #; Böylece, #sin x # Burada sıfır değeri almaz.

Bunu belirlemek için, her ikisinde de aşırı bir durum olduğunu hatırlayın #f '(x) = 0 # (kritik noktalar) veya bitiş noktalarından birinde. Bunu göz önüne alarak, yukarıdaki f (x) 'nin türevini alıyoruz ve bu türevin 0'a eşit olduğu noktaları buluyoruz.

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sinx) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Bu son terimi nasıl çözmeliyiz?

Kısaca düşünün karşılıklı kuralBuradaki son terimimiz gibi durumlarla başa çıkmak için geliştirilen, # d / (dx) (1 / günah x) #. Karşılıklı kural, farklılaştırılabilir bir işlev verildiğini belirterek doğrudan zincir veya bölüm kuralı kullanarak atlamamıza izin verir. #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

ne zaman #g (x)! = 0 #

Ana denklemimize dönersek;

# 3 - d / dx (1 / günah x) #.

Dan beri #sin (x) # ayırt edilebilir, burada karşılıklı kuralı uygulayabiliriz:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Bunu 0'a eşit olarak ayarlayalım:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Bu sadece ne zaman ortaya çıkabilir #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Buradan, özellikle trigonometrik tanımlardan birini kullanmaya başlayabiliriz. # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Bu bir polinomu andırıyor #cos x # geleneksel x'imizi değiştiriyoruz. Böylece ilan ediyoruz #cos x = u # ve…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Burada ikinci dereceden formül kullanarak …

# (1 + - sqrt (1-4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Köklerimiz meydana geliyor #u = (1 + -sqrt37) / 6 # buna göre. Ancak, bu köklerden biri (# (1 + sqrt37) / 6 #) için kök olamaz #cos x # çünkü kök 1'den büyük ve # -1 <= cosx <= 1 # tüm x için. Diğer taraftan, ikinci kökümüz yaklaşık olarak hesaplar. #-.847127#. Ancak, bu asgari değerden daha az #cos x # fonksiyon aralığı (olabilir beri #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Böylece, etki alanında kritik bir nokta yok.

Bunu akılda tutarak, bitiş noktalarımıza geri dönmeli ve onları orijinal işleve koymalıyız. Bunu yaparak, elde ederiz #f (pi / 2) yaklaşık 3.7124, f (3pi / 4) yaklaşık 5.6544 #

Dolayısıyla, etki alanındaki mutlak minimum değerimiz yaklaşık olarak # (pi / 2, 3.7124), # ve maksimum değerimiz yaklaşık # (3pi / 4, 5.6544) #