(1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2'yi nasıl ispatlarsınız?

Cevap:

Birkaç trig kimliği kullanın ve basitleştirin. Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Soruda bir yanlışlık olduğuna inanıyorum, ama önemli değil. Mantıklı olması için, soru okumalısınız:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Her iki durumda da, bu ifadeyle başlıyoruz:

# (1-SiNx) / (1 + SiNx) #

(Trig kimliklerini kanıtlarken, genellikle kesir içeren tarafta çalışmak en iyisidir).

Hadi eşlenik çarpma denilen düzgün bir numara kullanalım, burada paydasıyla kesirle çarpıyoruz. eşlenik:

# (1-SiNx) / (1 + SiNx) * (1-SiNx) / (1-SiNx) #

# = ((1-SiNx) (1-SiNx)) / ((1 + SiNx) (1-SiNx)) #

# = (1-SiNx) ^ 2 / ((1 + SiNx) (1-SiNx)) #

Eşleniği # A + b # olduğu # A-b #, yani eşleniği # 1 + sinx # olduğu 1.-sinx #; ile çarpıyoruz # (1-SiNx) / (1-SiNx) # kesri dengelemek için.

Bunu not et # (1 + SiNx) (1-SiNx) # aslında özelliği olan kareler farkıdır:

# (A-b) (a + b) ^ 2-b ^ 2 # =

İşte bunu görüyoruz # A = 1 # ve # B = SiNx #, yani:

# (1 + SiNx) (1-SiNx) = (1) ^ 2- (SiNx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Pisagor Kimliğinden # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, bunu takip eder (çıkardıktan sonra # Sin ^ 2x # Iki taraftan), # Cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Vay, biz gittik # (1-SiNx) / (1-SiNx) # için 1.-sin ^ 2x # için # Cos ^ 2x #! Şimdi sorunumuz şöyle görünüyor:

# (1-SiNx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Payı genişletelim:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Hatırlamak: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + B ^ 2 #)

Şimdi, kesirleri kıracağız:

1. / cos ^ 2X (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sek ^ 2x-2 * SiNx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Nasıl basitleştirilir o ? "Dediğimi söylediğimde hatırla. # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + B ^ 2 #'?

Şekline dönüştü # Sn ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # aslında # (Secx-tanx) ^ 2 #. İzin verirsek # A = secx # ve # B = tanx #, bu ifadenin olduğunu görebiliriz:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a), (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Hangi, az önce söylediğim gibi # (A-b) ^ 2 #. değiştirmek # Bir # ile # Secx # ve # B # ile # Tanx # ve aldın:

# Sn ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Ve proodu tamamladık:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #