Toplamı hesapla_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Cevap:

Teleskop Serisi 1

Açıklama:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1))) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1))) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

Bu çökmekte olan (teleskopik) bir seridir.

İlk terimi

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Bu eşdeğerdir

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + sum_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

1 + 1 / sqrt2 + cdot + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), n> 1 için olduğunu gösterin.

Aşağıda Eşitsizliğin doğru olduğunu göstermek için, n> 1 için 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) matematiksel indüksiyonunu kullanmalısınız. Adım 1: n = 2 için doğru olanı LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, ardından LHS> RHS. Bu nedenle, n = 2 için doğrudur Adım 2: n = k için k'nin bir tam sayı olduğu ve k> 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- için doğru olduğunu varsayalım. (1) Adım 3: n = k + 1 olduğunda, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) yani 0> = sqrt2-

Akut bir üçgenin yan uzunlukları sqrtn, sqrt (n + 1) ve sqrt (n + 2) 'dir. N'yi nasıl buluyorsun?

Üçgen sağ üçgen ise, o zaman en büyük tarafın karesi küçük tarafların karelerinin toplamına eşittir. Ancak üçgen keskin bir açılıdır. Yani en büyük tarafın karesi, küçük tarafların karelerinin toplamından daha azdır. Dolayısıyla (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1