1 + 1 / sqrt2 + cdot + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), n> 1 için olduğunu gösterin.

Cevap:

Altında

Açıklama:

Eşitsizliğin doğru olduğunu göstermek için matematiksel indüksiyon kullanıyorsunuz

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # için #n> 1 #

1. Adım: Gerçek olduğunu kanıtlayın # N = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Dan beri # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, sonra #LHS> RHS #. Bu nedenle, bu # N = 2 #

2. Adım: için doğru olduğunu varsayalım # N = k # burada k bir tam sayıdır ve #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

3. Adım: Ne Zaman? # N = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

yani # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # (1) varsayımla

=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Dan beri #K> 1 #, sonra # -1 / SQRT (k + 1) <0 # dan beri # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, sonra # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # yani # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Adım 4: Matematiksel tümevarımın kanıtı ile bu eşitsizlik tüm tamsayılar için geçerlidir. # N # daha büyük #1#

Belirtildiği gibi eşitsizlik yanlıştır.

Örneğin #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (yaklaşık 2.3) iptal et (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (yaklaşık 2.8) #

Bir çelişki.