F (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2 yerel maksima ve minimumları nedir?

Cevap:

#f (x) = x ^ 2 / {(X-2) ^ 2 #

Bu fonksiyonun üzerinde dikey bir asimptot var. #, X = 2 #, yaklaşımlar #1# yukarıdan x giderken # + oo # (yatay asimptot) ve yaklaşımlar #1# aşağıdan x'e giderken # -oo #. Tüm türevler tanımsız #, X = 2 # yanı sıra. Konumunda bir yerel minima var #, X = 0 #, • y = 0 # (Köken için tüm bu sorun!)

Matematiğimi kontrol etmek isteyebileceğinizi unutmayın, en iyilerimiz bile garip olumsuz işaretler atıyorlar ve bu uzun bir soru.

Açıklama:

#f (x) = x ^ 2 / {(X-2) ^ 2 #

Bu fonksiyonun üzerinde dikey bir asimptot var. #, X = 2 #, çünkü payda sıfır olduğunda #, X = 2 #.

Yaklaşıyor #1# yukarıdan x giderken # + oo # (yatay asimptot) ve yaklaşımlar #1# aşağıdan x'e giderken # -oo #, çünkü büyük değerler için # X, ^ 2 ~ = (X-2) ^ 2 # ile # X, ^ 2>, (x-2) ^ 2 # için # x> 0 # ve # X, ^ 2 <(x-2) ^ 2 # için # x <0 #.

Maks / dak bulmak için birinci ve ikinci türevlere ihtiyacımız var.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Bölüm kuralını kullanın!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Güçler kuralı ve zincir kuralı kullanarak:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Şimdi biraz ısırdık …

# {df (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Şimdi ikinci türev, ilk gibi yapılıyor.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Çirkin ama sadece kötü davrandığı yeri takıp kaydetmemiz gerekiyor.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Bu işlev tanımsız #, X = 2 #, bu asimptot, ama her yerde iyi görünüyor.

Bilmek istediğimiz maksimum / dakika …

ayarladık # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # pay sıfır olduğunda ve payda değilse bu sıfırdır.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # veya # 4 x (2-x) = 0 # Bu sıfırda #, X = 0 # ve #, X = 2 #fakat türev / fonksiyon tanımsız olduğu için maksimum / dk olamıyoruz, bu yüzden tek olasılık #, X = 0 #.

"ikinci türev testi"

Şimdi ikinci türevine bakıyoruz, olduğu gibi çirkin …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Fonksiyon ve ilk türev gibi, bu tanımlanamamıştır. #, X = 2 #, ama her yerde iyi görünüyor.

Biz fiş #, X = 0 # içine # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, sıfır takmak için böyle güzel bir sayı değil mi?

#=128/256# hepsi için #1/2#

#1/2 >0# yani #, X = 0 # yerel bir minimumdur.

Y değerini bulmak için onu fonksiyona bağlamamız gerekir.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Köken!