Bu işlevin x_0 = 0'da lim olmadığını kanıtla. + Örnek

Cevap:

Açıklamaya bakınız.

Açıklama:

Heine'in fonksiyon limit tanımına göre elimizde:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Yani bir işlevin olduğunu göstermek için YOK HAYIR sınırlamak # X_0 # iki dizi bulmalıyız # {X_n} # ve # {Çubuk (x) _n} # öyle ki

#lim_ {N -> + oo} X_n = lim_ {N -> + oo} çubuk (x) _n = x_0 #

ve

#lim_ {N -> + oo} f (X_n) = lim_ {N -> + oo}! f (çubuk (x) '_n) #

Verilen örnekte bu diziler olabilir:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # ve #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Her iki dizi de yakınsak # X_0 = 0 #, ancak işlevin formülüne göre elimizde:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

çünkü bütün unsurlar # X_n # içeride #1,1/2,1/4,…#

ve için #bar (x) _n # sahibiz:

#f (çubuk (x) _1) = f (1) = 2 #

ama herkes için #n> = 2 # sahibiz: #f (çubuk (x) '_n) = 1 #

İçin böylece #n -> + oo # sahibiz:

#lim_ {N -> + oo} f (çubuk (x) _n) = 1 # (**)

Her iki dizi de kapsar # X_0 = 0 #, ancak (*) ve (**) sınırları DEĞİL eşit, yani limit #lim_ {x> 0} f (x) # mevcut değil.

QED

Limit tanımı Wikipedia'da bulunabilir:

Cevap:

İşte bir sınırın varlığının tanımını reddetmeyi kullanan bir kanıt.

Açıklama:

Kısa versiyon

#f (x) # tek bir sayıya yaklaşamıyorum # L # çünkü herhangi bir mahallede #0#, işlev # F # birbirinden farklı olan değerleri alır #1#.

Öyleyse, birinin ne için teklif ettiği önemli değil # L #, puan var # X # yakın #0#, nerede #f (x) # en azından #1/2# uzak birim # L #

Uzun versiyon

#lim_ (xrarr0) f (x) # varsa ve yalnızca varsa

bir numara var # L # hepsi için böyle #epsilon> 0 #, var #delta> 0 # herkes için öyle # X #, # 0 <abs (x) <delta # ima #abs (f (x) -L) <epsilon #

Bunun ihmali:

#lim_ (xrarr0) f (x) # ve eğer varsa, başarısız olur.

Her numara için # L # bir var #epsilon> 0 #, böyle herkes için #delta> 0 # bir var # X #, öyle ki # 0 <abs (x) <delta # ve #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Bir numara verildi # L #, İzin vereceğim #epsilon = 1/2 # (daha küçük #epsilon# de çalışacak)

Şimdi bir pozitif verilen #delta#Olduğunu göstermeliyim ki # X # ile # 0 <absx <delta # ve #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (hatırlamak #epsilon = 1/2 #)

Olumlu verilen #delta#, sonunda # 1/2 ^ n <delta # yani bir var # X_1 # ile #f (x_1) = 2 #.

Bir öğe de var # x_2, RR- {1, 1/2, 1/4,… } # ile # 0 <x_2 <delta # ve #f (x_2) = 1 #

Eğer #L <= (1/2) #, sonra #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Eğer #L> = (1/2) #, sonra #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #