Belirsiz integralini değerlendirin: sqrt (10x x ^ 2) dx?

Cevap:

/ 3x ^ (3/2) 20. -1 / 2 x ^ 2 + c #

Açıklama:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Meydanı tamamla

#int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Vekil # U = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Vekil # U = 5sin (v) # ve # Du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

basitleştirme, # "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

daraltın, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Sabitini al, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Çift açılı formüller uygulayın, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Sabitini al, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Birleştirmek, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Geri yerine # V = arcsin (u / 5) # ve # U = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + () (2arcsin iptal) (1 / 2sin iptal ((x-5) / 5))) "+ c #

basitleştirme, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

daraltın, ((X-5) / 5) +5/2 (X-5) + c # 25 / 2arcsin, nerede # C # entegrasyon sabitidir.

Tadaa: D

Cevap:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Açıklama:

Nedir #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Bütünleştirilen işlevin etki alanının iç kuadratikin pozitif olduğu, yani. 0, 10 # #x

Bu ifade, ikameler kullanılarak entegre edilebilir. Entegrasyon için olası bir yol hemen kendini göstermese de, kareyi rekabet edersek, o zaman bir trigonometrik ikame gerçekleştirilebilir:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Hangi fark edersek, klasik trigonometrik ikame formunda, yani bir sayının karesi eksi bir doğrusalın karesidir. # X # işlevi.

İlk olarak, lineer kurtulmak için, biz izin #u = x-5 #, veren # Du = dx #, böylece yukarıdaki integrali şu şekilde yeniden yazabiliriz:

#int sqrt (25-^ ^ 2) du #

Şimdi ikinci oyuncu değişikliği için #u = 5sintheta #, integrali şu şekilde değiştirir:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (mutlak değer parantezlerini görmezden gelebiliriz)

Tabii ki # Dx # yardımcı olmadığından ikame denklemini şu şekilde elde ederiz: #du = 5costheta d theta #Böylece integral şöyle olur:

# 25 int cos ^ 2 teta d theta #

Şimdi entegrasyon yapmak için çift açılı bir formül kullanabiliriz. # cos ^ 2 teta # Daha kolay:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Böylece integral şöyle olur:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 teta) + teta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (çift açılı formül kullanarak)

Şimdi, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Bu nedenle, #costata = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- - x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Ve, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #