Aşağıdaki denklemi doğal sayılarla çözün: x² + y² = 1997 (x-y)?

Cevap:

# (x, y) = (170, 145) # veya # (x, y) = (1817, 145) #

Açıklama:

Aşağıdaki kanıt, “Diophantine Denklemlerine Giriş: Probleme Dayalı Bir Yaklaşım” kitabındaki Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu tarafından yazılmıştır.

Verilen:

# X, ^ 2 + y ^ = 1997 2 (x-y) #

let #a = (x + y) # ve #b = (1997-x + y) #

Sonra:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Dolayısıyla biz buluruz:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Dan beri #1997# asal # Bir # ve # B # ortak bir faktöre sahip değildir #1#.

Dolayısıyla pozitif tamsayılar var. #m, n # ile #m> n # ve hiçbir ortak faktörden daha büyük #1# öyle ki:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} renk (beyaz) (XX) "veya" renk (beyaz) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Bakmak # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # modda #3# ve mod #5# aritmetik bulduk:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) dolayısıyla #m - = + -1 # ve #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) dolayısıyla #m - = + -1 # ve #n - = + -1 # (mod #5#)

Bunun için tek olasılık #m, n # modülo #15# Hangi #1, 4, 11, 14#.

Ayrıca şunu unutmayın:

# m ^ 2 (1997/2, 1997) #

Dolayısıyla:

# m (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Yani, bunun için tek olasılık # M # Hangi #34, 41, 44#

Bulduk:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# Mükemmel bir kare değil.

#1997 - 44^2 = 61# Mükemmel bir kare değil.

Yani # (m, n) = (34, 29) #

Yani:

# (a, b) = (2 milyon, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

veya

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#Beyaz renk)()#

Eğer # (a, b) = (1972, 315) # sonra:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

ve dolayısıyla:

# (x, y) = (1817, 145) #

#Beyaz renk)()#

Eğer # (a, b) = (315, 1972) # sonra:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

ve dolayısıyla:

# (x, y) = (170, 145) #