A Çemberinin (3, 5) bir merkezi ve 78 pi'lik bir alanı vardır. B Çemberinin (1, 2) bir merkezi ve 54 pi'lik bir alanı vardır. Daireler örtüşüyor mu?

Cevap:

Evet

Açıklama:

İlk önce, iki merkez arasındaki mesafeye ihtiyacımız var, ki bu # D = sqrt ((DELTAX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + ^ 2 (3-1)) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

Şimdi yarıçap toplamına ihtiyacımız var, çünkü:

#D> (r_1 + r_2); "Daireler üst üste gelmiyor" #

# D = (r_1 + r_2); "Çevreler sadece dokunuyor" #

#D <(r_1 + r_2); "Daireler çakışıyor" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, böylece daireler üst üste biniyor.

Kanıt:

grafik {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

Cevap:

Bunlar çakışırsa #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Hesap makinesini atlayabilir ve kontrol edebiliriz # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # veya #4(13)(54) > 11^2# bu kesinlikle öyle, yani evet, örtüşme.

Açıklama:

Çember alanı elbette #pi r ^ 2 # bu yüzden biz ayrık biz bölmek # Pi #s.

Biz yarıçapı kare var

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

ve merkezler arasında kare mesafe

# G ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Temelde biz bilmek istiyorum # r_1 + r_2 ge d #yani, iki yarıçaptan üçgeni ve merkezler arasındaki kesimi yapabilirsek.

Kare uzunlukların hepsi güzel tam sayılardır ve hesap makinemize ya da bilgisayara içgüdüsel olarak ulaşmamız ve karekök almaya başlamamız oldukça delice.

Zorunda değiliz, ama biraz sapma gerektiriyor. Heron'un formülünü kullanalım, bölgeyi arayalım. # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # nerede # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Bu zaten Heron'dan daha iyi. Ama devam ediyoruz. Biraz tedium atlayacağım.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Güzel bir simetrik, alan formülünü beklediğimiz gibi. Daha az simetrik görünmesini sağlayalım. hatırlama

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Ekleme, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Bu, kenarların kare uzunlukları verilen bir üçgenin kare alanı için bir formül. İkincisi rasyonel olduğunda, eskidir.

Hadi deneyelim. İstediğimiz gibi taraf atamakta özgürüz; El hesaplama için elinden gelenin en iyisini yapmak # C # en büyük taraf

# c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Daha fazla hesaplamadan önce bile, bir pozitifimiz olduğunu görebiliriz. # 16q'da ^ 2 # yani pozitif alana sahip gerçek bir üçgen, bu yüzden üst üste gelen daireler.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Olumsuz bir değer elde etmiş olsaydık, hayali bir alan, bu gerçek bir üçgen değil, yani birbiriyle örtüşmeyen çevreler.