F (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Cevap:

#(0,0)# bir eyer noktası

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # ve # (- 1 / m² 2, -1 / m² 2) # yerel maksima

# (1 / m² 2, -1 / m² 2) # ve # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # yerel minima

# (0, pm 1 / sqrt 2) # ve # (pm 1 / sqrt 2,0) # çekim noktalarıdır.

Açıklama:

Genel bir işlev için #F (x, y) # sabit bir noktada # (X_0, y_0) # Taylor serisinin genişlemesi var

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + noktalar #

İşlev için

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

sahibiz

# (del f) / (del x) = siz ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Her iki ilk türevinin aşağıdaki hücrelerde yok olduğunu görmek kolaydır.

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Bu durağan noktaların doğasını incelemek için, oradaki ikinci türevlerin davranışlarına bakmamız gerekir.

şimdi

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-il ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ve benzer şekilde

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ve

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-il ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

İçin böylece #(0,0)# sahibiz # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # ve # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - bu yüzden

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Eğer yaklaşırsan #(0,0)# çizgi boyunca # X = y #, bu olur

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

ve bu yüzden #(0,0)# Bu yönde yaklaşırsanız tabii ki minimumdur. Öte yandan, hat boyunca yaklaşırsanız # X = -y # sahibiz

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

ve bu yüzden #(0,0)# bu yönde bir maksimum

Böylece #(0,0)# bir Eyer noktası.

İçin # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # kolayca görülür ki

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # ve # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

bu demek oluyor ki

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Böylece, hangi uzaklaşırsanız kullanın, fonksiyon azalır. # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # ve bu bir yerel maksimum. Aynı şey için geçerli olduğu kolayca görülür # (1 - / sqrt2, -1 / sqrt2) # (Bu açık olmalıydı, çünkü işlev aynı kalıyordu. # (x, y) ila (-x, -y) #!

Yine, ikisi için de # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # ve # (1 - / sqrt2,1 / sqrt2) # sahibiz

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # ve # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Yani, bu iki nokta da yerel minimumdur.

Dört puan # (0, pm 1 / sqrt2) # ve # (pm 1 / sqrt2, 0) # daha problemlidir - çünkü ikinci dereceden tüm türevler bu noktalarda kaybolur. Şimdi yüksek mertebeden türevlere bakmalıyız. Neyse ki, bunun için çok çalışmamız gerekmiyor - bir sonraki türev ürün

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

her ikisi için de sıfır olmayan # (0, pm 1 / sqrt2) # ve # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Şimdi, bu, örneğin

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

bu da artacağını gösterir # f (0,1 / m² 2) # bir yönde ve diğerinden ondan azaltın. Böylece # (0,1 / sqrt2) # ** bir çarpma noktasıdır. Aynı argüman diğer üç nokta için de geçerlidir.