Binom olasılıkları hesaplarken niçin "bir defada x alınan şeylerin kombinasyonlarını" kullanmak zorundayız?

Cevap:

Düşüncelerime aşağıdan bakın:

Açıklama:

Binom olasılık için genel form:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (s) ^ k ((~ p) ^ (N-k)) #

Soru şu: Neden ilk terim, kombinasyon terimine ihtiyacımız var?

Bir örnek çalışalım ve sonra netleşecek.

Binlerce madeni parayı 3 kez çevirme olasılığına bakalım. Başları almak için başlayalım # P # ve kafa almamak # ~ P # (her ikisi de #=1/2)#.

Toplama sürecinden geçtiğimizde, toplamanın 4 terimi 1'e eşit olacaktır (özünde, olası tüm sonuçları buluyoruz ve dolayısıyla toplanan tüm sonuçların olasılığı 1'dir):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = renkli (kırmızı) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + renkli (mavi) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Öyleyse kırmızı terim ve mavi terim hakkında konuşalım.

Kırmızı terim, 3 kuyruk almanın sonuçlarını açıklar. Bunu başarmanın sadece 1 yolu var ve bu yüzden 1'e eşit bir kombinasyonumuz var.

Tüm kafaları ele geçirmeyi tanımlayan son terimin de 1'e eşit bir bileşime sahip olduğuna dikkat edin, çünkü yine de bunu başarmanın tek bir yolu var.

Mavi terim, 2 kuyruk ve 1 kafa elde etmenin sonuçlarını açıklar. Olabilecek 3 yol var: TTH, THT, HTT. Ve böylece 3'e eşit bir kombinasyonumuz var.

Üçüncü terimin 1 kuyruk ve 2 kafa almayı tanımladığını ve yine bunu elde etmenin 3 yolu olduğunu ve bu nedenle kombinasyonun 3'e eşit olduğunu unutmayın.

Aslında, herhangi bir binom dağılımında, 2 kafa ve 1 kuyruk elde etme olasılığı gibi tek bir olay olasılığını bulmalı ve bunu elde edilebilecek şekilde çarpmalıyız. Sonuçların elde edilme sırasını umursamadığımız için, bir kombinasyon formülü kullanırız (örneğin bir permütasyon formülü değil).