Trigonometrik formda (4 + 6i) (3 + 7i) ile nasıl çarpılır?

Öncelikle bu iki sayıyı trigonometrik biçimlere dönüştürmeliyiz.

Eğer # (A + IB) # karmaşık bir sayıdır, # U # onun büyüklüğü ve #alfa# onun açısı o zaman # (A + IB) # trigonometrik formda olarak yazılır #u (cosalpha + isinalpha) #.

Karmaşık bir sayının büyüklüğü # (A + IB) # tarafından verilir#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ve açısı # Kahve renkli ^ 1 (b / a) #

let # R # büyüklüğü olmak # (4 + 6i) # ve # Teta # onun açısı ol.

Büyüklüğü # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Açısı # (4 + 6i) Tan ^ 1 (6/4) tan rengi bir ^ 1 (3/2) = teta # = =

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

let # s # büyüklüğü olmak # (3 + 7i) # ve # Phi # onun açısı ol.

Büyüklüğü # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Açısı # (3 + 7i) Tan ^ 1 (7/3) = phi # =

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Şimdi,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = R (Costheta + isintheta) * s (cosPhi + isinphi) #

# = Rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = Rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = Rs (cos (teta + phi) + isin (teta + phi)) #

Burada elimizde her şey var ama eğer değerleri doğrudan yerine koyarsanız kelime bulmak için dağınık olacak #theta + phi # öyleyse önce öğrenelim # Teta + phi #.

# Teta + phi = kahve renkli ^ 1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Biz biliyoruz ki:

# Kahve renkli ^ 1 (a) + açık kahverengi ^ 1 (b) '= kahve renkli ^ 1 ((a + b) / (1-ab)) #

# tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) açık kahve renkli ^ 1 ((9 + 14) / (6-21)) # =

# = Kahve renkli ^ 1 ((23) / (- 15)) = kahve renkli ^ 1 (-23/15) #

# teta + phi = tan ^ -1 (-23/15) # kullanır

#rs (cos (teta + phi) + isin (teta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

Bu senin son cevabın.

Bunu başka bir yöntemle de yapabilirsiniz.

Öncelikle karmaşık sayıları çarparak ve sonra bunu bundan daha kolay olan trigonometrik forma değiştirerek.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = -30 ila + 46i #

Şimdi değiştir # -30 + 46i # trigonometrik biçimde.

Büyüklüğü # -30 ila + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (+ 2116 900) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Açısı # -30 ila + 46i ^ 1 (46 / -30) açık kahverengi ^ 1 (-23/15) # açık kahverengi = =

# -31 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15))) + isin (tan ^ -1 (-23/15)))