F (x) = int xe ^ (2-x) + 3x ^ 2 dx, f (0) = 1 ise nedir?

Cevap:

# -Xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #

Açıklama:

İntegraller için sum kuralını kullanarak ve bunları iki ayrı integrale bölerek başlayın:

# İntxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2DX #

Bu mini integrallerin ilki, parçalar tarafından entegrasyon kullanılarak çözülür:

let # U = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #

# Dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = entegrasyon ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #

Şimdi entegrasyonu, parça formülüne göre kullanma # İntudv = uv-intvdu #, sahibiz:

# İntxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #

# = - xe ^ (2-x) + entegrasyon ^ (2-x) dx #

# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #

Bunlardan ikincisi, şunu söyleyen bir ters güç kuralı durumudur:

# INTX ^ Ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #

Yani # İnt3x ^ 2DX = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #

Bu nedenle, # İntxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (entegrasyon sabitini eklemeyi unutmayın!)

İlk şartı verdik #f (0) = 1 #, yani:

# 1 = (0) -, e ^ (2- (0)) - E ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #

# 1 = -e ^ 2 + C #

# C = 1 + e ^ 2 #

Bu son değişikliği yaparak, nihai çözümümüzü elde ediyoruz:

# İntxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #