(Sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx'i nasıl basitleştirebilirim?

Cevap:

# Cos ^ 5x #

Açıklama:

Bu tür bir problem, küçük bir cebir içerdiğini fark ettiğinizde gerçekten de o kadar da kötü değil!

İlk önce, aşağıdaki adımların anlaşılmasını kolaylaştırmak için verilen ifadeyi yeniden yazacağım. Biz biliyoruz ki # Sin ^ 2x # yazmak için daha basit bir yoldur # (günah x) ^ 2 #. Benzer şekilde, # günah ^ 4x = (günah x) ^ 4 #.

Şimdi orijinal ifadeyi yeniden yazabiliriz.

# (günah ^ 4 x - 2 günah ^ 2 x + 1) çünkü x #

# = (günah x) ^ 4 - 2 (günah x) ^ 2 + 1 cos x #

Şimdi, işte cebir içeren kısım. let #sin x = a #. Yazabiliriz # (günah x) ^ 4 - 2 (günah x) ^ 2 + 1 # gibi

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Bu tanıdık geliyor mu? Sadece bunu hesaba katmamız gerekiyor! Bu mükemmel bir kare trinomial. Dan beri # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, söyleyebiliriz

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Şimdi, orijinal durumuna geri dönün. Yeniden yerine #sin x # için # Bir #.

# (günah x) ^ 4 - 2 (günah x) ^ 2 + 1 çünkü x #

# = (günah x) ^ 2 -1 ^ 2 çünkü x #

# = (renkli (mavi) (günah ^ 2x - 1)) ^ 2 çünkü x #

Şimdi mavi terimleri basitleştirmek için trigonometrik bir kimlik kullanabiliriz. Kimliğin yeniden düzenlenmesi # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #aldık #color (mavi) (günah ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (renkli (mavi) (- çünkü ^ 2x)) ^ 2 çünkü x #

Bunu karelerek, negatif işaretler pozitif olmak için çoğalır.

# = (cos ^ 4x) çünkü x #

# = Cos ^ 5x #

Böylece, # (günah ^ 4 x - 2 günah ^ 2 x + 1) cos x = cos ^ 5x #.