Aşağıdaki denklemi çözün: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Cevap:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, # sqrt11

Bu açıklama, kuadratik tipte bir denklemin yeniden kuadratik denklem ve / veya hesap makinesi olmadan çözülebilmesi için olası faktörleri bulma adımlarını belirleme konusunda oldukça ayrıntılı bir yöntem sunar.

Açıklama:

İlk önce denklemin sol tarafındaki terimi kullanın.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ = 7/9 2/25 (x ^ 2-2) #

Kare binomu genişletin. Hatırlamak # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) ila (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

En küçük ortak payda ile denklemi çarpıtarak kesirleri temizleyebiliriz. #3,25,# ve #9,# hangisi #225#.

Bunu not et #225=3^2*5^2#, yani #225/3=75#, #225/25=9#, ve #225/9=25#.

İle çarparak #225# verir:

(X ^ 2-2) + 9 75. (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Her çarpım sabitini dağıtın.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Tüm terimleri bir tarafa taşıyın ve denklemi yeniden sıralayın.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Bu, faktoring edilebilir olma potansiyeline sahiptir: eksikliği # X ^ 3 # ve # X # terimler, bunun formda faktörlendirilebileceği anlamına gelir # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Faktörleri test etmek için, ürünü ilk ve son katsayıların çarpımı olan bir çift tamsayı bulmamız gerektiğini unutmayın. # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Ürünü aynı tamsayılar #3^2*11*19# toplamı olmalı #-118#.

Ürün pozitif ve toplam negatif olduğundan, her iki tamsayının da pozitif olacağını biliyoruz.

Püf noktası şimdi gelen sayıların bir kombinasyonunu bulmak. #3^2*11*19# toplamı #118#. (Olumlu sürümü bulursak, her iki sayıyı da kolayca olumsuz biçimlerine geçirebiliriz.)

Faktörlerin gruplarını bulmaya çalışmalıyız. #3^2*11*19# bu aşılmaz #118#.

Olasılık olasılığını ortadan kaldırabiliriz #3^2*19# ve #11*19# İki tamsayımızdan biri olarak gerçekleşir, çünkü ikisi de büyüktür. #118#. Böylece, eğer odaklanırsak #19# en büyük faktör olduğundan, sadece ikisinin de olabileceğini biliyoruz. #19# veya #3*19#.

Yani tam sayılar için sadece iki seçeneğimiz:

# {:(bb "Tamsayı 1", "", bb "Tamsayı 2", "", bb "Toplam"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Bu yüzden ürünü olan sayı çiftimiz #3^2*11*19# ve toplam #118# olduğu #19# ve #99#.

Bundan quartik olarak şöyle yazabiliriz:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9 x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Gruplandırmaya göre faktör:

# 9 x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Bunu iki denkleme ayırın:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Cevap:

Kesirli denklemler her zaman olduğundan daha kötü görünüyor. Bir denkleminiz olduğu ve bir ifadeniz olmadığı sürece, paydalardan LCM ile çarparak paydalardan kurtulabilirsiniz.

Açıklama:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

İkinci terimde paydayı karıştırarak başlayalım.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Şimdi, paydaları iptal etmek için her terimi 225 ile çarpın.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / iptal3 + iptal (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = iptal (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Bu açıkça bir kuadratik, bu yüzden 0'a eşitleyin.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Birinci ve üçüncü terimlerin terimler gibi olduğuna dikkat edin, bu yüzden bunları birlikte ekleyebiliriz. Ayrıca orta vadede kare.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 + 1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Parantezleri dağıtım yasasıyla çıkarın:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 + 9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

basitleştirin: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

9 ve 209 faktörlerini araştırmak

9 = 3x3 veya 9x1 ve 209 = 11 x 19

118'e ekleyen faktörlerin kombinasyonu 99 + 19

Factorising verir # (x ^ 2-11) (9x ^ 2-19) = 0 #

Eğer # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Eğer # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #