Serinin yakınsadığı r (r> 0 ile) değerleri nelerdir?

Cevap:

#r <1 / e # yakınsama koşulu #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Açıklama:

Sadece yakınsama ile ilgili kısmı cevaplayacağım, ilk kısım yorumlarda cevaplandı. Kullanabiliriz # R ^ ln (n) = n ^ ln (R) # toplamı yeniden yazmak #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # şeklinde

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {için} p = -ln (r) #

Sağdaki seri, ünlü Riemann Zeta fonksiyonunun seri formudur. Bu serinin ne zaman yakınsadığı iyi bilinmektedir. #p> 1 #. Bu sonucu kullanarak doğrudan verir

# -ln (r)> 1, ln (r) anlamına gelir <- 1, r <e ^ -1 = 1 / e # anlamına gelir.

Riemann Zeta fonksiyonları hakkında sonuç çok iyi bilinmektedir, İsterseniz ab initio Cevap, yakınsama için integral testi deneyebilirsiniz.