RR'deki x için çözün, denklem sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Cevap:

#x, 5, 10 #

Açıklama:

let # U = X-1 #. Daha sonra denklemin sol tarafını tekrar yazabiliriz.

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Varlığına dikkat edin #sqrt (u) # denklemde ve sadece gerçek değerleri aradığımızı, bu yüzden kısıtlamalarımız var. #u> = 0 #. Bununla kalan tüm vakaları göz önünde bulunduracağız:

Dava 1: # 0 <= u <= 4 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Böylece # U = 4 # aralıktaki tek çözüm nedir #0, 4#

Durum 2: # 4 <= u <= 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Bu bir totoloji olduğundan, her değer #4, 9# bir çözümdür.

Durum 3: #u> = 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Böylece #u = 9 # aralıktaki tek çözüm nedir # 9, oo) #

Birlikte alındığında, biz #4, 9# gerçek değerler için belirlenen çözüm olarak # U #. Yerine #x = u + 1 #, son çözüm setine varıyoruz #x, 5, 10 #

Sol taraftaki grafiğe baktığımızda, bu beklentilerimizle uyuşuyor: