Trigonometrik ikame kullanarak int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx'i nasıl birleştirirsiniz?

Cevap:

# -sqrt (101) / 101i * 1 ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) + 1))) +1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Açıklama:

Çözüm biraz uzun !!!

Verilen #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Not alın # İ = sqrt (-1) # hayali sayı

Bir süre bu karmaşık sayıyı bir kenara koyun ve integrale geçin.

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

kareyi tamamlayarak ve gruplandırma yaparak:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

İlk Trigonometrik ikame: ##

Akut açı # # w tersi olan # = E ^ x + 10 # ve bitişik taraf #=1# hipotenüs ile =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

let # e ^ x + 10 = tan #

# e ^ x dx = sn ^ 2 w # # dw #

# dx = (saniye = 2w * dw) / e ^ x #

ve sonra

# dx = (sn = 2w * dw) / tan (w-10) #

İntegral olur

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sn ^ 2w * dw) / (tan s-10) #

#int 1 / sqrt (sn ^ 2w) * (sn ^ 2w * dw) / (tan s-10) #

#int 1 / sn a * (sn ^ 2w * dw) / (tan a-10) #

#int (secw * dw) / (tan s-10) #

trigonometriden #sec w = 1 / cos w # ve #tan w = günah w / cos w #

İntegral olur

#int (1 / cos w * dw) / (günah w / cos w-10) # ve

#int (dw) / (günah w-10, çünkü w) #

İkinci Trigonometrik ikame:

let # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

ve ayrıca # z = tan (w / 2) #

Dik üçgen: Akut açı # / 2 # w karşı tarafla # = z #

Bitişik tarafı #=1# ve hipotenüs # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Trigonometriden: Yarım açılı formülleri hatırlamak

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

için çözme #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Ayrıca kimliği kullanmak #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

onu takip ediyor

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

İntegral olur

#int (dw) / (günah w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

İntegral sonuçların basitleştirilmesi

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Kareyi tamamlayarak:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Şimdi formülü kullan #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

let # U = z + 1/10 # ve # Bir = sqrt101 / 10 # ve arka dahil # İ = sqrt (-1) #

Orijinal değişkenleri kullanarak son cevabı yaz

# -sqrt (101) / 101i * 1 ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) + 1))) +1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #