Trigonometrik ikame kullanarak int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx'i nasıl birleştirirsiniz?

Cevap:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = ln | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Açıklama:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 9 + 4) d x #

#int 1 / (sqrt ((x-2) ^ 2 + 3 ^ 2)) d x #

# x-2 = 3tan teta "" d x = 3sec ^ 2 teta d theta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int (3s ^ 2 teta d teta) / sqrt (9tan ^ 2 teta + 9) = int (3ste ^ 2 teta d teta) / (3sqrt (1 + tan ^ 2 teta)) "" 1 + tan ^ 2 teta = sn ^ 2 teta #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (3s ^ 2 teta d theta) / (3sqrt (sn ^ 2 teta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int (iptal et (3sec ^ 2 teta) d teta) / (iptal (3sec teta)) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = int sn sayın

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) d x = l n | sn teta + tan teta | + C #

#tan teta = (x-2) / 3 "" sn teta = sqrt (1 + tan ^ 2 teta) = sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) = ln | sqrt (1+ (x-2) ^ 2/9) + (x-2) / 3 | + C #

Cevap:

# sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #

Açıklama:

Hiperbolik versiyonu da mümkündür:

• # x-2 = 3
• #dx = 3 kod # du #

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = int 1 / sqrt (9sinh ^ 2 u + 9) 3cosh u du = int 1 / (3cosh u) 3cosh u du = u + C #

Dolayısıyla:

#int 1 / sqrt (x ^ 2-4x + 13) dx = sinh ^ -1 ((x-2) / 3) + C #