Lütfen yardım et. Hepsini çarpmadan hızlıca nasıl yapacağımı bilmiyorum.

Cevap:

Cevabı (ben) olduğu #240#.

Cevabı (İi) olduğu #200#.

Açıklama:

Bunu aşağıda gösterilen Pascal Üçgenini kullanarak yapabiliriz.

(ben)

Üs olduğundan #6#, içerdiği üçgenin altıncı sırasını kullanmamız gerekir. #color (mor) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # ve #color (mor) 1 #. Temel olarak kullanacağız #color (mavi) 1 # ilk terim ve #color (kırmızı) (2x) # ikinci olarak. Sonra aşağıdaki denklemi oluşturabiliriz. İlk terimin üssü artar #1# her seferinde ikinci terimin üssü azalır #1# Üçgenden her terim ile.

# (Renkli) (mor 1 * renk (mavi) ^ 0 (1) * renk (kırmızı) ((2x) ^ 6)) + (renkli) (mor 6 * renk (mavi) ^ 1 (1) * Renk (kırmızı) ((2x) ^ 5)) + (renk (mor) 15 * renk (mavi) (1 ^ 2) * renk (kırmızı) ((2x) ^ 4)) + (renk) (mor 20 * renk (mavi) (1 ^ 3) * renk (kırmızı) ((2x) ^ 3)) + (renk) (mor 15 * renk (mavi) ^ 4 (1) * renk (kırmızı) ((2x) ^ 2)) + ^ 6 (renkli) (mor 1 * renk (mavi) (1) * renk + (1) renk (mor) 6 * renk (mavi) (1 ^ 5) * renk (kırmızı) ((2x) ^) (kırmızı) ((2x) ^ 0)) #

O zaman basitleştirebiliriz.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Bu nedenle, katsayısı # X ^ 4 # olduğu #240#.

(İi)

Genişlemesini zaten biliyoruz # (1 + 2x) ^ 6 #. Şimdi iki ifadeyi birlikte çoğaltabiliriz.

#color (kahverengi) (1-x (1/4)) * renk (turuncu) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 1 + 12x) #

Katsayısı # X # içinde # 1-x (1/4) # olduğu #1#. Yani, diğer ifadedeki üslerin değerlerini artıracağını biliyoruz. #1#. Çünkü katsayısına ihtiyacımız var # X ^ 4 #, sadece çarpmamız gerekiyor # 160x ^ 3 # tarafından # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Şimdi eklemeliyiz # 240x ^ 4 #. Bu çözümün bir parçası # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, çarpımından dolayı #1#. Bu önemlidir çünkü aynı zamanda bir üssü vardır #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Dolayısıyla katsayısı #200#.

Cevap:

ben. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Açıklama:

İçin binom genişlemesi #, (A + b x) ^ c # olarak temsil edilebilir:

#sum_ (n = 0) ^ c (C!) / (n! (C = N)!) a ^ (C = N) (bx) '^ n #

Bölüm 1 için sadece ne zaman ihtiyacımız var # N = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

15. * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

2. bölüm için ayrıca # X ^ 3 # nedeniyle terim # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (= X / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #