Rakamlarının toplamı 9'a eşit olan 1 ile 99999 arasında kaç sayı vardır? Yönteme ihtiyacım var.

Cevap:

#715#

Açıklama:

# "Matematiksel olarak a, b, c, d, e gibi bir şey arıyoruz" #

# "a + b + c + d + e = 9. a, b, c, d, e pozitif tamsayılar." #

# "Bu bir yıldızlar ve barlar problemi. 9 yıldızımız var (toplamı" #

# "basamaklardan) ve 5 gruba ayrılmaları gerekir." #

# "Bunun için kombinasyon sayısı C (9 + 4,4) = C (13,4)," #

#"ile"#

#C (n, k) = (n!) / ((N-k)! K!) #

# "Yani burada var" #

#C (13,4) = (13!) / ((9!) (4!)) = 715 #

# "Olasılıklar." #

Cevap:

#715#

Açıklama:

Varsayalım #5# kutular ve #9# aralarında dağıtılacak özdeş nesneler. Kaç yolla yapılabilir?

yazı # "" ^ n D_k # dağıtım yollarının sayısı için # N # arasındaki özdeş nesneler # K kutularımız var:

• # "" ^ 0 D_k = 1 #

• # "" ^ 1 D_k = k #

• # "" ^ n D_1 = 1 #

• # "" ^ n D_2 = "" ^ n D_1 + "" ^ (n-1) D_1 + … + "" ^ 0 D_1 = n + 1 #

• # "" ^ n D_3 = "" ^ n D_2 + "" ^ (n-1) D_2 + … + "" ^ 0 D_2 #

  # = (n + 1) + ((n-1) +1) + … + (1 + 1) + (0 + 1) = 1/2 (n + 1) (n + 2) #

• # "" ^ n D_4 = "" ^ n D_3 + "" ^ (n-1) D_3 + … + "" ^ 0 D_3 #

  # = 1/2 (n + 1) (n + 2) + 1/2 ((n-1) +1) ((n-1) +2) + … + 1/2 (0 + 1) (0 + 2) #

# = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) #

• # "" ^ n D_5 = "" ^ n D_4 + "" ^ (n-1) D_4 + … + "" ^ 0 D_4 #

  # = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) +1/6 ((n-1) +1) ((n-1) +2) ((n-1) +3) + … + 1/6 (0 + 1) (0 + 2) (0 + 3) #

# = 1/24 (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) #

Yani:

# "" ^ 9 9 = 1/24 (9 + 1) (9 + 2) (9 + 3) (9 + 4) = 715