Kısmi türevin önemi nedir? Bir örnek ver ve kısaca anlamama yardım et.

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Umut ediyorum bu yardım eder.

Kısmi türev kendinden toplam varyasyonla ilişkilidir.

Bir işleve sahip olduğumuzu varsayalım #f (x, y) # ve her değişkene bir artış eklediğimizde ne kadar değiştiğini bilmek istiyoruz.

Fikirleri düzeltme, yapma #f (x, y) = k x y # ne kadar olduğunu bilmek istiyoruz

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Bizim fonksiyon örneğimizde

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

ve sonra

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

seçme #dx, dy # keyfi küçük #dx dy yaklaşık 0 # ve sonra

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ama genel olarak

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1 / 2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

şimdi yapım #dx, dy # keyfi küçük

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

Böylece, belirli bir fonksiyonun toplam varyasyonunu kısmi türevleri hesaplayarak hesaplayabiliriz. #f_ (x_1), f_ (x_2), cdotlar, f_ (x_n) # ve bileşik

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

İşte, miktarlar #f_ (x_i) # kısmi türevler olarak adlandırılır ve ayrıca

# (kısmi f) / (kısmi x_i) #

Örneğimizde

#f_x = (kısmi f) / (kısmi x) = k x # ve

#f_y = (kısmi f) / (kısmi y) = k y #

NOT

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dinamizm> 0)) (f (x + dx, dy y +) -F (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Cesareo'nun yukarıdaki cevabını desteklemek için, daha az matematiksel olarak titiz bir tanıtım tanımı sunacağım.

Kısaca türetilen, gevşekçe konuşursak, çok değişkenli bir fonksiyonun ne kadar değişeceğini bize bildirir. diğer değişkenleri sabit tutarken. Mesela, bize verildiğini varsayalım

#U (A, t) = A ^ 2t #

Nerede # U # belirli bir ürünün faydası (mutluluk) işlevidir, # A # ürünün miktarı ve # T # ürünün kullanıldığı zamandır.

Ürünü üreten firmanın, ürünün ömrünü 1 birim arttırdığı takdirde ne kadar fayda sağlayabileceklerini bilmek istediğini varsayalım. Kısmi türev, şirkete bu değeri söyleyecektir.

Kısmi türev genel olarak küçük harf Yunanca harf delta ile gösterilir.#kısmi#), fakat başka notlar var. Kullanacağız #kısmi# şimdilik.

Ürünün faydasının zaman içindeki 1 birim artışla ne kadar değiştiğini bulmaya çalışıyorsak, zamana göre kullanımın kısmi türevini hesaplıyoruz:

# (PartialU) / (partialt) #

PD'yi hesaplamak için, diğer değişkenleri sabit tutarız. Bu durumda tedavi ediyoruz # A ^ 2 #Diğer değişken, sanki bir rakammış gibi. Giriş matematikten sabit bir türev türevinin bir değişkenin sabit olduğunu hatırlayın. Burada da aynı fikir var: (kısmi) türevi # A ^ 2 #, bir sabit, kez # T #değişken, sadece sabittir:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Böylece, ürünün kullanıldığı zaman bir 1 birim artış üretir # A ^ 2 # daha fazla yardımcı. Başka bir deyişle, daha sık kullanılabiliyorsa ürün daha tatmin edici hale gelir.

Kısmi türevler hakkında söylenecek daha çok şey var - aslında, tüm lisans ve yüksek lisans dersleri kısmi türevleri içeren sadece birkaç tür denklemin çözümüne ayrılabilir - ancak temel fikir kısmi türevin bize ne kadar çok olduğunu söylemesidir. Diğerleri aynı kaldığında değişken değişir.