F (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1)) işlevinin aralığı nedir?

Cevap:

Aralık 1, # Oo #)

Açıklama:

Bu probleme ilk baktığımda, etki alanına odaklanacağım. Bir kare kökün altında x olması genellikle sınırlı bir etki alanı ile sonuçlanır. Bu önemlidir, çünkü eğer noktalar etki alanında mevcut değilse, onları da bu aralığa dahil etmediğimizden emin olmalıyız!

Etki alanı #f (x) # (-# Oo #, -#sqrt (1/2) #)# Uu #(#sqrt (1/2) #, # Oo #), gibi # 2x ^ 2 -1 # den az olamaz #0# ya da ortaya çıkan sayı hayali olacaktır.

Şimdi, işlevin nereye gittiğini görmek için son davranışa bakmamız gerekiyor. # Oo # ve -# Oo # için # X #. Son davranışa bakarken, fonksiyonun genel şeklini etkilemeyen daha küçük ayrıntıları görmezden gelebiliriz. Son davranışı tanımlarken, işlev #g (x) # tipik olarak kullanılır.

g (x) = 5. ^ SQRT (X ^ 2) #

g (x) = 5. ^ | x | #

Ve 'tak' negatif ve pozitif sonsuzluk

g (-# Oo #) = 5. ^ | -Oo | #

gr (# -Oo #) = # Oo #

gr (# Oo #) = 5. ^ | oo | #

gr (# Oo #) = # Oo #

#f (x) # Her iki şekilde de pozitif sonsuzluğa doğru yönelir

Şimdi, fonksiyonun asgari seviyesini bulmamız gerekiyor. Aklınızda bulundurun #f (x) # sınırlı alanında gösterdiğimiz gibi sürekli değildir.

Dan beri #f (x) # çift bir fonksiyondur (y ekseninde simetrik) ve • y # büyüklüğü arttıkça # X # asgari • y # değer nerede bulunur # X # 0'a yakındır. Bizim durumumuzda, olacak -#sqrt (1/2) # veya #sqrt (1/2) # sınırlı etki alanı nedeniyle. Ekleyelim #sqrt (1/2) # minimum bulmak için.

f (#sqrt (1/2) #) = 5. ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = 5. ^ SQRT (2 x (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Yani, aralık olacak 1, # Oo #)

Cevap:

1, pozitif sonsuzluk)

Açıklama:

Bu fonksiyonu çizerken (işaretlememişseniz Desmos'u öneririm), fonksiyonun en alt kısmını y ekseninde 1'e dokunarak görebilir ve pozitif olarak sonsuza kadar devam eder. Bunu grafiksiz bulmanın kolay bir yolu denklemde herhangi bir kısıtlama olup olmadığını görmek. Negatif sayıların karekökü olmadığı için, üssü 0 olarak ayarlarsak, mümkün olan en düşük x değerini bulabileceğimizi biliyoruz.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2 x ^ 2 = 1 #

# X, ^ 2 = 1/2 #

#, X = sqrt (1/2) #

Artık Domain kısıtlamasına sahip olduğumuz için, bunu orijinal denklem için kullanabiliriz.

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Şimdi mümkün olan en düşük y değerinin 1 olduğunu belirledik ve y değerlerinin ne kadar yüksek olabileceği konusunda bir kısıtlama yoktur. Bu nedenle, aralık pozitif 1'den (dahil) pozitif sonsuza kadardır.