Cevap:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Açıklama:
let #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Gerçek değerlerle ve dolayısıyla Gerçek doğal logaritma ile uğraştığımızı varsayalım.
O zaman kısıtlıyız. #x> 0 # amacıyla #ln (5x) # Tanımlanmış olmak.
Herhangi #x> 0 # Her iki terim de iyi tanımlanmış #f (x) # etki alanı ile iyi tanımlanmış bir işlevdir # (0, oo) #.
Bunu not et # 3LN (5) # ve # X ^ 3 # Her ikisi de kesinlikle bu alanda artan bir şekilde monotoniktir, bu nedenle fonksiyonumuz da bire birdir.
Küçük pozitif değerler için # X #, dönem # X ^ 3 # küçük ve olumlu ve terim # 3LN (5x) # keyfi büyük ve negatif.
Büyük pozitif değerleri için # X #, dönem # 3LN (5x) # olumlu ve terim # X ^ 3 # keyfi büyük ve olumlu.
İşlev sürekli olduğu için, aralık # (- oo, oo) #
Yani herhangi bir değer için #y içinde (-oo, oo) # benzersiz bir değer var #x içinde (0, oo) # öyle ki #f (x) = y #.
Bu ters fonksiyonumuzu tanımlar:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Yani #f ^ (- 1) (y) # değeri # X # öyle ki #f (x) = y #.
Bunun var olduğunu (gayrı resmi olarak) gösterdik, ancak bunun için cebirsel bir çözüm yok. # X # açısından • y #.
Grafiği #f ^ (- 1) (y) # grafiği #f (x) # çizgiye yansıyan # Y = x #.
Set notasyonu içinde:
#f = {(x, y) (0, oo) xx içinde RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) RR xx (0, oo) cinsinden: x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
