Bir işlev belirli bir alanda sürekli ve ayırt edilemez olabilir mi ??

Cevap:

Evet.

Açıklama:

Bunun en çarpıcı örneklerinden biri, orijinal makalesinde şöyle tanımladığı Karl Weierstrass tarafından keşfedilen Weierstrass işlevidir:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n çünkü (b ^ n pi x) #

nerede # 0 <a <1 #, # B # pozitif bir tamsayıdır ve #ab> (3pi + 2) / 2 #

Bu, Real çizgisinde her yerde sürekli olan ama hiçbir yerde ayırt edilemeyen çok dikenli bir fonksiyondur.

Cevap:

Evet, eğer bir "bükülmüş" noktası varsa. Bir örnek #f (x) = | x | # en # X_0 = 0 #

Açıklama:

Sürekli işlev pratik olarak, kaleminizi kağıttan çıkarmadan çizim yapmak anlamına gelir. Matematiksel olarak, herhangi biri için # X_0 # değerleri #f (x_0) # onlar sonsuz küçük yaklaşıldı gibi # Dx # soldan ve sağdan eşit olmalıdır:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

eksi işareti soldan yaklaşmak, artı işareti ise sağdan yaklaşmak demektir.

Farklılaştırılabilir işlev pratik olarak eğimini sabit bir şekilde değiştiren bir işlev anlamına gelir (sabit bir oranda DEĞİL). Bu nedenle, belirli bir noktada ayırt edilemeyen bir işlev, pratik olarak, bu noktanın solundan sağa eğimini aniden değiştirdiği anlamına gelir.

2 fonksiyon görelim.

#f (x) = x ^ 2 # en # X_0 = 2 #

grafik

grafik {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Grafik (yakınlaştırılmış)

grafik {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

-Den beri # X_0 = 2 # grafik kalem kağıdından alınmadan oluşturulabilir, fonksiyon bu noktada süreklidir. Bu noktada bükülmediğinden, aynı zamanda farklılaşabilir.

#g (x) = | x | # en # X_0 = 0 #

grafik

grafik {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

at # X_0 = 0 # işlev, kalemi kağıttan çıkarmadan çizilebildiği için süreklidir. Ancak, bu noktada büküldüğü için, fonksiyon farklılaşamaz.