Üç tamsayının karesinin toplamı 324'tür. Tam sayıları nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

Farklı pozitif tamsayılar ile tek çözüm #(2, 8, 16)#

Çözümlerin tamamı:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Açıklama:

Hangi form karelerinin alacağını düşünerek kendimiz için biraz çaba harcayabiliriz.

Eğer # N # o zaman garip bir tam sayı #n = 2k + 1 # bazı tamsayılar için # K ve:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Bunun formun tuhaf bir tamsayı olduğuna dikkat edin. # 4p + 1 #.

Yani iki garip tamsayının karesini eklerseniz, her zaman formun bir tamsayısını alırsınız. # 4k + 2 # bazı tamsayılar için # K.

Bunu not et #324 = 4*81# biçimindedir # 4k #, değil # 4k + 2 #.

Dolayısıyla, üç tamsayının hepsinin eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz.

Tam sayılarda sonlu sayıda çözüm vardır. # n ^ 2> = 0 # herhangi bir tamsayı için # N #.

Negatif olmayan tamsayılarda çözümler düşünün. Sonunda negatif tamsayı içeren değişkenler ekleyebiliriz.

Diyelim ki en büyük tamsayı # N #, sonra:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Yani:

# 12 <= n <= 18 #

Bu, diğer iki tamsayının karelerinin olası toplamlarına yol açar:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Bu değerlerin her biri için # K, kalan en büyük tam sayı olduğunu varsayalım. # M #. Sonra:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

ve biz gerektirir ^ 2 # # k-m mükemmel bir kare olmak için.

Dolayısıyla çözümler buluyoruz:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Yani, farklı pozitif tamsayılara sahip tek çözüm #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Bunu göstermek kolaydır # X, y # ve • Z olması gerektiği gibi olmalı # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # ve # Z = 2m_z # sahibiz

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # veya

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # Bu saçma.

Böylece bundan sonra düşüneceğiz

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Şimdi kimliği göz önüne alarak

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / N) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / N) ^ 2 #

ile # L, m, n # keyfi pozitif tamsayılar ve yapma

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

sahibiz

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # veya çözme # N #

#n = 1/2 (9 pm kare (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

bu yüzden fizibilite için ihtiyacımız var

^ 2-4 9. (l ^ 2 + m ^ 2) p = 2 ^ # veya

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

için böylece # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # sahip olacağız

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # bu yüzden uygulanabilir # Q # Hangi

#q_f = {80,72,56,32} # Çünkü #q equiv 0 mod 4 #

bu yüzden bulmalıyız

4. (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # veya

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

İşte kolayca doğrulayabileceğimiz gibi, tek çözüm

# L-1 = 2, M_1 = 4 # Çünkü

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

ve sonuç olarak # n_1 = {4,5} #

ve 1 yerine koyarak

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

çözüm vermek

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #