3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... sonsuzluğa = 3 ^ (3/4) olarak gösterin.

3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... sonsuzluğa = 3 ^ (3/4) olarak gösterin.
Anonim

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdot = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdot = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

ile

#S = toplam_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Biz biliyoruz ki #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = xd / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

ve ayrıca bunun için #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # ve # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # sonra

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # ve için #x = 1/3 # sahibiz

#S = 3/4 # en sonunda

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #