F (x, y) = xy (1-x-y) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Cevap:

Puanlar #(0,0),(1,0)#, ve #(0,1)# eyer noktalarıdır. Nokta #(1/3,1/3)# yerel bir maksimum nokta.

Açıklama:

Genişletebiliriz # F # için #f (x, y) oksi-x ^ 2y-xy ^ 2 # =. Daha sonra, kısmi türevleri bulun ve sıfıra eşitleyin.

# frac { kısmi f} { kısmi x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { kısmi f} { kısmi y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Açıkça, # (X, y) = (0,0), (1,0), # ve #(0,1)# bu sistemin çözümleri ve çok önemli noktaları # F #. Diğer çözüm sistemden bulunabilir • y 1-2x-= 0 #, # 1-X-2y = 0 #. İçin ilk denklemi çözme • y # açısından # X # verir • y = 1-2x #almak için ikinci denklemde takılabilir # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Bundan, • y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # yanı sıra.

Bu kritik noktaların doğasını test etmek için ikinci türevleri buluyoruz:

# frac { kısmi ^ {2} f} { kısmi x ^ {2}} = - 2y #, # frac { kısmi ^ {2} f} { kısmi y ^ {2}} = - 2x #, ve # frac { kısmi ^ {2} f} { kısmi x kısmi y} = frac { kısmi ^ {2} f} { kısmi y kısmi x} = 1-2x-2y #.

Dolayısıyla ayrımcı:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4XY adresinde yerleşik-2y + 4XY adresinde yerleşik + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

İlk üç kritik noktayı takmak şunları verir:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, ve #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, bu noktaları eyer noktaları yaparak.

Son kritik noktaya takmak, #D (1 / 3,1 / 3) 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 # =. Ayrıca unutmayın # frac { kısmi ^ {2} f} { kısmi x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Bu nedenle, #(1/3,1/3)# yerel maksimum değerin bulunduğu bir yer # F #. Yerel maksimum değerin kendisinin olduğunu kontrol edebilirsiniz. #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Aşağıda kontur haritasının bir resmi (seviye eğrilerinin) # F # (çıktıların eğrileri # F # sabittir), 4 kritik noktasıyla birlikte # F #.