Tek bir kalıbı atarsanız, her bir numarayı bir kez yuvarlamak için gereken rulo sayısı kaçtır?

Cevap:

# 14.7 "rulo" #

Açıklama:

#P "atılan tüm sayılar" = 1 - P "1,2,3,4,5 veya 6 atılmadı" #

#P "A veya B veya C veya D veya E veya F" = P A + P B + … + P F - #

#P A ve B - P A ve C …. + P A ve B ve C + … #

# "İşte bu"

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) +10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Bunun negatifi bizim ihtimalimiz." #

#sum n * a ^ (n-1) = toplam (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) toplamı ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = toplam n * P "n atıştan sonra atılan tüm sayılar" #

# = toplam n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "P_1 (0) başlangıç koşulu nedeniyle birini çıkarmamız gerekiyor" #

# "n = 1 için hatalı bir P = 1 değeri verir." #

# => P = 15.7 - 1 = 14.7 #

Cevap:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Açıklama:

Altı mini oyun gibi düşün. Her oyun için, henüz atılmamış bir sayıyı döndürene kadar ölümü yaparız - buna "kazanma" diyeceğiz. Sonra bir sonraki oyuna başlarız.

let # X # her sayıyı en az bir kez almak için gereken rulo sayısı (örneğin 6 mini oyunu da kazanmak) ve # X_i # mini oyun sayısını "kazanmak" için gereken rulo sayısı #ben# (için #ben# 1 ila 6 arasında). Sonra her # X_i # dağılımlı bir geometrik rasgele değişken # "Coğrafi" (p_i) #.

Her bir Geometrik rasgele değişkenin beklenen değeri 1. / p_i #.

İlk oyun için # p_1 = 6/6 # Çünkü 6 sonuç da "yeni". Böylece, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

İkinci oyunda, 6 sonuçtan 5'i yeni # P_2 = 5/6 #. Böylece, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Üçüncü oyun için, olası 6 atıştan 4'ü yeni, yani # P_3 = 4/6 #anlamı # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Bu noktada, bir model görebiliriz. Her yeni oyunda "kazanma" rulolarının sayısı 1 azaldığından, her oyunda "kazanma" olasılığı düşüyor #6/6# için #5/6#, sonra #4/6#Oyun başına beklenen rulo sayısının, yani #6/6# için #6/5#için #6/4#ve benzerleri, son oyuna kadar, son sayıyı almak için 6 tur atmasını beklediğimiz yerde.

Böylece:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (white) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (beyaz) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (beyaz) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (beyaz) ("E" (X)) = 14,7 #