Mümkünse, f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5) dereceli bir işlevi bulun.

Cevap:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Açıklama:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Şimdi al"

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Öyleyse şartları yerine getiren aynı f var." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Cevap:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Açıklama:

Del operatörünün (veya gradyan operatörünün) bir vektör diferansiyel operatör olması nedeniyle, soruda yeterince notumuz yoktur, Bir işlev arıyoruz #f (x, y) # öyle ki:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Nerede #BB (grad) # gradyan operatörü:

# "grad" f = bb (grad) f = (kısmi f) / (kısmi x) bb (ul şapka i) + (kısmi f) / (kısmi x) bb (ul şapka j) = << f_x, f_y> > #

Bundan istediğimiz şey:

# f_x = (kısmi f) / (kısmi x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (kısmi f) / (kısmi y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

A wrt ile bütünleşirsek # X #, tedavi ederken • y # sabit olarak o zaman elde ederiz:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

B wrt ile bütünleşirsek • y #, tedavi ederken # X # sabit olarak o zaman elde ederiz:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Nerede #u (y) # keyfi bir işlevdir • y # yalnız ve #v (x) # keyfi bir işlevidir # X # yalnız.

Açıkçası bu fonksiyonların aynı olmasını istiyoruz, bu yüzden:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Ve böylece seçeriz #v (x) = x ^ 4 # ve #u (y) y ^ 6 # =, bize çözümümüzü veren:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Kısmi türevleri hesaplayarak çözümü kolayca doğrulayabiliriz:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (gradyan) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED