Bir ikizkenar üçgeninin iki köşesi (1, 3) ve (9, 4) 'tedir. Üçgenin alanı 64 ise, üçgenin kenarlarının uzunluğu nedir?

Cevap:

Üçgenin kenarlarının uzunlukları şunlardır:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Açıklama:

İki nokta arasındaki mesafe # (x_1, y_1) # ve # (x_2, y_2) # mesafe formülü tarafından verilir:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Yani arasındaki mesafe # (x_1, y_1) = (1, 3) # ve # (x_2, y_2) = (9, 4) # geçerli:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

bu irrasyonel bir sayı biraz daha büyük #8#.

Üçgenin diğer taraflarından biri aynı uzunluktaysa, üçgenin olası maksimum alanı:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Yani bu böyle olamaz. Bunun yerine, diğer iki taraf aynı uzunlukta olmalıdır.

Yanları olan bir üçgen verilir # a = sqrt (65), b = t, c = t #, bölgesini bulmak için Heron formülünü kullanabiliriz.

Herons formülü bize kenarları olan bir üçgenin alanının olduğunu söyler #a, b, c # ve yarı çevre #s = 1/2 (a + b + c) # tarafından verilir:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Bizim durumumuzda yarı çevre:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

Heron'un formülü bize şunu söylüyor:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (beyaz) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Her iki ucu da çarpma #2# almak:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Her iki tarafın kare olsun:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

İki tarafı da çarp #4/65# almak:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Devret ve ekle #65/4# Her iki tarafa almak için:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Her iki tarafın da pozitif karekökünü alın:

#t = sqrt (266369/260) #

Yani üçgenin kenarlarının uzunlukları:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternatif yöntem

Heron'un formülünü kullanmak yerine, şu şekilde karar verebiliriz:

İkizkenar üçgenin tabanının uzunluğu olduğu göz önüne alındığında:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Alan # 64 = 1/2 "temel" xx "yükseklik" #

Yani üçgenin yüksekliği:

# 64 / (1/2 m² (65)) = 128 / sqrt (65) = (128 m2 (65)) / 65 #

Bu, tabanın orta noktasından geçen üçgenin dik bisector'unun uzunluğu.

Böylece diğer iki taraf iki dik açılı üçgenin bacaklı hipotenüslerini oluşturur. #sqrt (65) / 2 # ve # (128sqrt (65)) / 65 #

Yani Pisagor tarafından, bu tarafların her birinin uzunluğu var:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #