Neden karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulmanız gerekiyor?

Karmaşık sayılarınızla yapmanız gerekenlere bağlı olarak, trigonometrik form çok yararlı veya çok dikenli olabilir.

Örneğin, bırak # Z_1 = 1 + # ı, # Z_2 = sqrt (3) + i # ve # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

İki trigonometrik formu hesaplayalım:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # ve # Rho_1 = sqrt {1 + 1} sqrt {2} # =

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # ve # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # ve # Rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Yani trigonometrik formlar:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + günah (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + günah (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + günah (2/3 pi)) #

İlave

Hesaplamak istediğinizi varsayalım # Z_1 + z_2 + z_3 #. Cebirsel formu kullanırsanız, # z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Oldukça kolay. Şimdi trigonometrik formu dene …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + günah (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + günah (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + günah (2/3 pi)) #

bu iki ifadeyi eklemenin en kısa yolunun kosinüs ve sinüsleri çözmek olduğu, yani cebirsel forma dönüştüğü anlamına geliyor!

Cebirsel form genellikle karmaşık sayılar eklerken seçilecek en iyi formdur.

Çarpma işlemi

Şimdi hesaplamaya çalışıyoruz # Z_1 * z_2 * z_3 #. Cebirsel formları kullanmak çok can sıkıcı hesaplamalar gerektirir. Ancak bu ürünü trigonometrik formlarla çözmek daha kolaydır:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + günah (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + günah (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + günah (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + günah (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + günah (13/12 pi)) #

İkinci eşitliğin tutulduğunu kanıtlamak için gereken maddeler trigonometriden geliyor: ikisi toplama formülleri

#sin (alfa + beta) = günah (alfa) cos (beta) + günah (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

Kompleks sayıların çarpımı, üstel biçimde daha da temiz (ama kavramsal olarak kolay değil).

Bir anlamda, trigonometrik form, cebirsel ve üstel formlar arasında bir çeşit formdur. Trigonometrik form, bu ikisi arasında geçiş yapmanın yoludur. Bu anlamda, formları "çevirmek" için bir tür sözlük sözlüğü.