İki eşmerkezli dairenin yarıçapı 16 cm ve 10 cm'dir. AB daha büyük dairenin çapıdır. BD, D'ye dokunan daha küçük daireye teğet. AD'nin uzunluğu nedir?

Cevap:

#bar (AD) 23.5797 # =

Açıklama:

Kökeni benimsemek #(0,0)# ortak merkez olarak # C_i # ve # C_e # ve arayarak # R_i = 10 # ve # R_e = 16 # teğet noktası # P_0 = (x_0, y_0) # kesişimde #C_i nn C_0 # nerede

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

İşte # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

İçin çözme #C_i nn C_0 # sahibiz

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Birinciyi ikinci denklemden çıkarma

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # yani

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # ve # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Sonunda aranan mesafe

#bar (AD), sqrt = ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

veya

#bar (AD) 23.5797 # =

Açıklama:

Eğer #bar (BD) # teğet # C_i # sonra #hat (ODB) = pi / 2 # Böylece pisagor uygulayabiliriz:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = çubuk (OB) ^ 2 # belirleyen # R_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2 bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Nokta # D # denilen koordinatlar # (X_0, y_0) # aranan mesafeyi hesaplamadan önce alınmalıdır #bar (AD) #

Bunu yapmanın birçok yolu var. Alternatif bir yöntem

# Y_0 = bar (BD) sin (şapka (OBD)) # fakat #sin (hat (OBD)) = çubuk (OD) / çubuğu (OB) #

sonra

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # ve

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Verilen verilere göre yukarıdaki şekil çizilmiştir.

O iki eş merkezli çemberin ortak merkezidir.

#AB -> "büyük çemberin çapı" #

# AO = OB -> "büyük dairenin yarıçapı" = 16 cm #

#DO -> "Küçük dairenin yarıçapı" = 10cm #

#BD -> "daha küçük daireye teğet" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

let # / _ DOB = teta => / _ AOD = (180-teta) #

İçinde #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Kosinüs yasalarını #Delta ADO # alırız

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos (180-teta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #