S_ (k + 1) 'in tamamen sadeleştirilmesi. Teşekkürler?!!

Cevap:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Açıklama:

Sadece ikame edemez miyiz # X = k + 1 # Formül içine, yoksa burada bir şey mi özlüyorum?

Sıra:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Yani, hesaplamak istiyorsak # S_k #daha yeni koyduk # N = k #, ve Al

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

Bu durumuda #S_ (k + 1) #, Sanırım yerine geçebiliriz # N = k + 1 #ve biz sahip olacağız

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Bunu genişletmek istiyorsak, olur

# (K + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 2 + 3 k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 3 + 3 k ^ 2 + 3 k ^ 2 + 9k 2k + + 6) / 3 #

# = (K ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = K ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = K ^ 3/3 2k + ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Cevap:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Açıklama:

#S_n: 1.2 ± 2.3 + 3.4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

İfadenin n = k için doğru olmasına izin verin, #S_k: 1.2 ± 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

İçin doğrulayalım

n = k + 1, sonra

# S_n = S_ (k + 1) #

# N + 1 = k + 2 #

# N + 2 = k + 3 #

# "hemen terimi" ile (k + 1) (k + 2) #

# (N (n + 1) (n + 2)) / 3 (= (k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Böylece, #S_ (k + 1): 1.2 ± 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (K (k + 1) (k + 2)) / 3 + (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) + 3'lük (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Doğrulanmış.

Böylece

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #