Eğer 3x ^ 2-4x + 1'in sıfırları alfa ve beta ise, hangi sıfırları alfa ^ 2 / beta ve beta ^ 2 / alfa olur?

Cevap:

bulmak #alfa# ve #beta# ilk.

Açıklama:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Sol taraftaki faktörler, öyle ki

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Genelliği kaybetmeden, kökleri #alpha = 1 # ve #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # ve #(1/3)^2/1= 1/9#.

Bu köklere sahip rasyonel katsayıları olan bir polinom

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Tamsayı katsayıları istiyorsak, elde etmek için 9 ile çarpın:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

İstersek bunu çarpabiliriz:

#g (x) = 9x ^ 2-28x + 3 #

NOT: Daha genel olarak yazabiliriz

#f (x) = (x - alfa ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Cevap:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Açıklama:

Bunu not et:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

ve:

# (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alfa)#

#color (beyaz) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + alfa beta #

#color (beyaz) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) x + alfa beta #

Örneğimizde, bölme # 3x ^ 2-4x + 1 # tarafından #3# sahibiz:

# {(alfa + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

Yani:

# ((alfa + beta) ^ 3-3alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Böylece istenen polinom yazılabilir:

# X ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

İle çarpın #9# tamsayı katsayılarını elde etmek için:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Cevap:

Aşağıda önerilen çözüm;

Açıklama:

# 3x²-4x + 1 #

Not: # Bir # alfa # B # beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Bir denklem oluşturmak için köklerin toplamını ve ürünlerini buluyoruz.

Sum için

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Fakat; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Bu nedenle;

# ((A + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) '#

Dolayısıyla değerleri değiştiririz..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (iptal3 / 1) #

#28/9#

Dolayısıyla, toplam #28/9#

Ürünler İçin

# ((A²) / b) ((b²) / a) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 x x 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Dolayısıyla, ürün #1/3#

# X²- (a + b), x + ab #

# X²- (28/9), x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

İle çarparak #9#

Bu yardımcı olur umarım!