Yarım silindirli bir yarıçap yarıçapı r ve yüksekliği r olan h yüksekliğindeki dört dikdörtgen duvarın üzerine monte edilmiştir. Bu yapının yapımında kullanılacak 200πm ^ 2 plastik levhaya sahibiz. Maksimum hacme izin veren r'nin değeri nedir?

Cevap:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Açıklama:

Anladığım kadarıyla soruyu cevaplayayım.

Bu nesnenin yüzey alanı sağlandığı takdirde # 200pi #, sesi en üst düzeye çıkarmak.

Plan

Yüzey alanını bilmek, bir yüksekliği temsil edebiliriz # H # yarıçapın bir fonksiyonu olarak # R #, sonra sadece bir parametrenin fonksiyonu olarak hacmi temsil edebiliriz - yarıçap # R #.

Bu fonksiyon kullanılarak maksimize edilmelidir # R # parametre olarak. Bu değerini verir # R #.

Yüzey alanı içerir:

Bir taban çevresiyle paralel yüzün bir yan yüzeyini oluşturan 4 duvar # 6r # ve yükseklik # H #toplam alanı olan # 6rh #.

1 çatı, yarıçaplı bir silindirin yan yüzeyinin yarısı # R # ve yükseklik # R #, o alana sahip #pi r ^ 2 #

Çatının 2 tarafı, yarıçapı yarım daire # R #toplam alan #pi r ^ 2 #.

Bir nesnenin sonuçta ortaya çıkan toplam yüzey alanı

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Bunun eşit olması gerektiğini bilmek # 200pi #ifade edebiliriz # H # açısından # R #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Bu nesnenin hacmi iki bölümden oluşur: Çatının altında ve çatının içinde.

Çatının altında taban alanı ile paralel bir bölme var # 2r ^ 2 # ve yükseklik # H #, bu onun hacmi

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2/3pir ^ 3 #

Çatıda yarıçaplı yarım silindirimiz var # R # ve yükseklik # R #, hacmi

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Fonksiyonu maksimize etmeliyiz

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2/3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

Bu gibi görünüyor (ölçek değil)

grafik {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Bu fonksiyon, türevi pozitif bir argüman için sıfıra eşit olduğunda maksimum seviyeye ulaşır.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Alanında #r> 0 # ne zaman sıfıra eşittir # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Bu, yüzey alanı ve nesnenin şekli verildiğinde en büyük hacmi veren yarıçaptır.