Cevap:
Zaten burada cevaplandı.
Açıklama:
Önce bulman gerek # Sin18 ^ @ #, burada hangi detaylar mevcut.
O zaman alabilirsin # Cos36 ^ @ # burada gösterildiği gibi.
Cevap:
Çözeriz #cos (2 teta) = cos (3 teta) # veya # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # için # x = cos 144 ^ circ # ve Al #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Açıklama:
Alırız #cos 36 ^ circ # kosinüs için çift ve üçlü açı formülünden hafif dolaylı olarak. Nasıl yapıldığı çok havalı ve sürpriz bir sonu var.
Odaklanacağız #cos 72 ^ circ #. Açı # Teta = 72 ^ devir daim # tatmin
#cos (2 teta) = cos (3 teta) #
Bunu çözelim. # Teta #hatırlatan #cos x = çünkü bir # çözümleri var #x = pm a + 360 ^ yaklaşık k #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ yaklaşık k #
# 5 theta = 360 ^ yaklaşık k # veya # -theta = 360 ^ yaklaşık k #
#theta = 72 ^ yaklaşık k #
Bu içerir # 360 ^ yaklaşık k # Böylece "veya" kısmı bırakabiliriz.
Buraya bir gizem yazmıyorum (süpriz sona ermesine rağmen) #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # Aynı zamanda geçerli bir çözümdür ve bunun sorununla nasıl ilişkili olduğunu görüyoruz.
#cos (2 teta) = cos (3 teta) #
# 2 cos ^ 2 teta-1 = 4 cos ^ 3 teta-3 çünkü teta #
Şimdi izin ver # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x + 1 = 0 #
Biliyoruz # x = cos (0 times 72 ^ circ) = 1 # bu yüzden bir çözüm #, (X-1) # bir faktördür:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
İkinci dereceden kökleri vardır
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Olumlu olan olmalı #cos 72 ^ circ # ve olumsuz olanı #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Cevap bu. Sürpriz, Altın Oranın yarısı!
