N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) tamsayı olduğunun kanıtı mı?

Cevap:

Düşünmek # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Bu olan bir gerçek kök vardır #6# diğer adıyla. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Açıklama:

Denklemi göz önünde bulundurun:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Cardana'nın yöntemini kullanarak çözmek için #t = u + v #

Sonra:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Terimini ortadan kaldırmak için # (U + v) #, kısıtlamayı ekleyin # Uv = 7 #

Sonra:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

İle çarpın # U ^ 3 # ve ikinci dereceden almak için yeniden düzenleme # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

ikinci dereceden formülle, bunun kökleri vardır:

# u ^ 3 = (90 + - kısa (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (beyaz) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (beyaz) (u ^ 3) = 45 + -1 / 2sqrt (6728) #

#color (beyaz) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Bu Gerçek olduğundan ve türetme simetrik # U # ve # V #Bu köklerden birini kullanabiliriz. # U ^ 3 # ve diğeri için # V ^ 3 # Gerçek sıfır olduğunu anlamak için # T ^ 3-21t-90 # geçerli:

# t_1 = kök (3) (45 + 29sqrt (2)) + kök (3) (45-29sqrt (2)) #

ama biz buluruz:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Yani gerçek sıfır # T ^ 3-21t-90 # olduğu #6#

Yani # 6 = kök (3) (45 + 29sqrt (2)) + kök (3) (45-29sqrt (2)) #

#Beyaz renk)()#

dipnot

Kübik denklemi bulmak için, Cardano'nun metodunu geriye doğru kullandım.

Cevap:

#N = 6 #

Açıklama:

Yapımı #x = 45 + 29 m² (2) # ve #y = 45-29 m² (2) # sonra

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (xy) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 x x 45 #

yani

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

veya arayarak #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # sahibiz

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

ile # 90 = 2 x x 3 ^ 2 x x 5 # ve #z = 6 # bir kök

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #