İspat sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Cevap:

Açıklamada

Açıklama:

Normal bir koordinat düzleminde, (1,2) ve (3,4) gibi koordinatlarımız ve bunun gibi şeyler vardır. Bu koordinatları n yarıçap ve açılarla ifade edebiliriz. Bu yüzden eğer (a, b) noktasına sahipsek, bu birimler sağa gidersek, b birimler artar ve #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # orijin ile nokta arasındaki mesafe (a, b). arayacağım #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Böylece sahibiz # Yeniden ^ arctan (b / a) #

Şimdi bu ispatı bitirmek için bir formül hatırlayalım.

# e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) #

Ark tan'in işlevi bana aynı zamanda teta olan bir açı verir.

Yani şu denklemimiz var:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + günah (arctan (b / a)) #

Şimdi bir dik üçgen çizelim.

(B / a) 'nın arkı bana b'nin zıt taraf olduğunu ve a'nın bitişik taraf olduğunu söyler. Öyleyse eğer arktan cos (b / a) istiyorsam, hipotenusu bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Hipotenüs #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Böylece cos (arctan (b / a)) = hipotenuse bitişik = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Bunun en iyi yanı, aynı prensibin sinüs için de geçerli olmasıdır. Böylece günah (arctan (b / a)) = hipotenüsün karşıtı = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Şimdi cevabımızı şu şekilde tekrar ifade edebiliriz: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (iki / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Ama hatırla #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # öyleyse şimdi biz var: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. R iptal edilir ve aşağıdakiler size kalır: # A + bi #

Bu nedenle, # (Yeniden ^ ((arctan (b / a)))), a + bi # =