3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y = C tanjant çizgisinin eğimi nedir, burada C (2,5) 'de isteğe bağlı bir sabittir.

Cevap:

# Dy / dx = -20/21 #

Açıklama:

Bu problem için örtük farklılaşmanın temellerini bilmeniz gerekir.

Teğet çizgisinin bir noktadaki eğiminin bir türev olduğunu biliyoruz; bu yüzden ilk adım türev almak olacaktır. Hadi başlayarak parça parça yapalım:

# G / dx (3y ^ 2) #

Bu çok zor değil; sadece zincir kuralını ve güç kuralını uygulamanız gerekir:

# G / dx (3y ^ 2) #

# -> 2 * 3 * y * dy / dx #

# = 6ydy / dx #

Şimdi, üzerine # 4XY adresinde yerleşik #. Bunun için güç, zincir ve ürün kurallarına ihtiyacımız olacak:

# G / dx (4XY adresinde yerleşik) #

# -> 4d / dx (xy) #

# = 4 ((x) (y) + (x) (y) ') -> # Ürün kuralı: # G / dx (UV) = u'v + uv '#

# = 4 (y + xdy / dx) #

# = 4y + 4xdy / dx #

Tamam, sonunda # X ^ 2y # (daha fazla ürün, güç ve zincir kuralları):

# G / dx (x ^ 2y) #

# = (X ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #

# = 2xy + x ^ 2DY / dx #

Artık tüm türevlerimizi bulduktan sonra sorunu şu şekilde ifade edebiliriz:

# G / dx (3y ^ 2 + 4XY adresinde yerleşik + x ^ 2y) D / dx (C), # =

# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #

(Bir sabitin türevini unutmayın #0#).

Şimdi terimleri topluyoruz # Dy / dx # Bir tarafta, her şeyi diğerine taşıyın:

# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #

# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2DY / dx = - (R4y + 2xy) #

# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (R4y + 2xy) #

# -> dy / dx = - (R4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

Tek yapması gereken takmak #(2,5)# cevabımızı bulmak için:

# Dy / dx = - (R4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

# Dy / dx = - (4 (5) + 2 (2) (5)) / (6 (5) + 4 (2) + (2) ^ 2) #

# Dy / dx = - (+ 20 20) / (30 + 8 + 4) #

# Dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #