Kareyi tamamlamak neden faydalı? + Örnek

Cevap:

Karesel ifadeleri basitleştirmek, böylece kareköklerle çözülebilir hale gelmek.

Açıklama:

Karenin tamamlanması, bir polinom denklemini daha basit forma indirgemek için bir sübstitüsyonun kullanılması (dolaylı olsa da) bir Tschirnhaus dönüşümü örneğidir.

Yani verildi:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # ile #a! = 0 #

biz yazabiliriz:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (beyaz) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (beyaz) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (beyaz) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (beyaz) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (beyaz) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Dolayısıyla:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Yani:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Böylece, formdaki ikinci dereceden bir denklem ile başlamış:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

bir forma aldık # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # ile #t = (2ax + b) # ve # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, sadece kare terimler bırakarak doğrusal terimi ortadan kaldırarak.

Karekökleri hesaplamaktan mutlu olduğumuz sürece, artık herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözebiliriz.

Kareyi tamamlamak, bir daire, elips veya başka bir konik bölümün denklemini standart forma sokmak için de kullanışlıdır.

Örneğin, verilen:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

kareyi tamamlayarak bulduk:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

bu denklemi merkezli bir çemberin kimliğiyle tanımlamamızı sağlamak #(2, -3)# ve yarıçapı #5#.