Soru # 90cf3 + Örnek

Cevap:

Gibi denklemlerin köklerini bulmak # e ^ x = x ^ 3 #, Newton'un Yöntemi adında özyinelemeli bir sayısal analiz yöntemi kullanmanızı öneririm.

Açıklama:

Bir örnek yapalım.

Newton'un metodunu kullanmak için denklemi forma yazabilirsiniz. #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

hesaplamak #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Yöntem, aynı hesaplamayı defalarca yapmamızı gerektirdiğinden, bir araya gelinceye kadar bir Excel elektronik tablosu kullanmanızı öneririm; cevabımın geri kalanında bunun nasıl yapılacağına dair talimatlar yer alacak.

A1 hücresine x için iyi bir tahmin girin. Bu denklem için 2 gireceğim.

Aşağıdakileri A2 hücresine girin:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Lütfen yukarıdakilerin Excel elektronik tablo dili olduğunu unutmayın.

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

A2 hücresinin içeriğini A3 ile A10 arasında kopyalayın. Yalnızca 3 veya 4 özyinelemeden sonra, yöntemin yakınlaştığını görebilirsiniz.

#x = 1.857184 #

Cevap:

Her çiftin en az bir kesişme noktasına sahip olduğunu görmek için Orta Değer Teoremini kullanabiliriz.

Açıklama:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # Tüm gerçek hat üzerinde süreklidir.

at #, X = 0 #, sahibiz #f (0) = 1 #.

at # X = -1 #, sahibiz #f (-1) = 1 / e-1 # bu olumsuzdur.

# F # devam ediyor #-1,0#, en az bir tane var # C # içinde #(-1,0)# ile #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x x ^ 3 # Tüm gerçek hat üzerinde süreklidir.

at #, X = 0 #, sahibiz #g (0) # 1 =.

at #, X = 2 #, sahibiz #g (2) = e ^ 2-8 # bu olumsuzdur.

(Bunu not et # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# G # devam ediyor #0,2#, en az bir tane var # C # içinde #(0,2)# ile #g (c) = 0 #.