Soru # ecc3a

Cevap:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Açıklama:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / SQRT3) + C #

Cevap:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Açıklama:

Ne zaman ne zaman paydada ikinci dereceden bir kareye sahibiz ve # X #Payda, integrali aşağıdaki forma sokmak istiyoruz:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Bizim durumumuzda bunu kareyi tamamlayarak ve sonra bir sübstitüsyon kullanarak yapabiliriz.

# X, ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + K #

# X, ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + K #

# K = 4/3 #

# X, ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Aşağıdaki gibi bir u-ikamesini tanıtmak istiyoruz:

# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

İçin çözebiliriz # X # Bu ikamenin ne olması gerektiğini anlamak için:

#, X + 1/2 = SQRT3 / 2u #

#, X = SQRT3 / 2u-1/2 #

İle ilgili olarak bütünleşmek # U #türeviyle çarpıyoruz # X # göre # U #:

# Dx / (du) = SQRT3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ 1 (u) + C #

Şimdi çözebiliriz # U # açısından # X # yeniden göndermek için:

# U = (2x + 1) / SQRT3 #

Bunun anlamı, son cevabımız:

# 2sqrt3tan ^ 1 ((2x + 1) / SQRT3) + C #