Hangi x değerleri için f (x) = x-x ^ 2e ^ -x içbükey veya dışbükey?

Cevap:

İkinci türevi bul ve işaretini kontrol et. Olumlu ise dışbükey, olumsuz ise içbükey.

İçbükey:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

İçin dışbükey:

#x (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Açıklama:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

İlk türev:

#f '(x) = 1- (2XE ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

almak # E ^ -x # Bir sonraki türevi basitleştirmek için ortak bir faktör olarak:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

İkinci türev:

#f '(x) = 0 - (+ e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '(x) = e ^ -x * (2x-2x ^ + 2 x 2) #

#f '(x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Şimdi tabelayı incelemeliyiz. Ikinci dereceden kolayca çözmek için işareti değiştirebilirsiniz:

#f '(x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

İkinci dereceden bir ürün yapmak için:

#x_ (1,2) = (B + - -sqrt (Δ)) / (2 x a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Bu nedenle:

#f '(x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x (2 + sqrt (2))) #

• Değeri # X # Bu iki çözüm arasında negatif bir kuadratik işaret var, diğer değer ise # X # olumlu kılar.
• Herhangi bir değer # X # markaları # E ^ -x # pozitif.
• Fonksiyonun başlangıcındaki negatif işaret tüm işaretleri tersine çevirir.

Bu nedenle, #f '(x)' # geçerli:

Olumlu, bu nedenle şunlar için içbükey:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Olumsuz, bu nedenle şunlar için dışbükey:

#x (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #