Eğer varsa f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x içindeki yerel ekstrema nedir?

Cevap:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # için yerel minimum değeri var #, X = 1 # ve yerel maksimum #, X = 3 #

Açıklama:

Sahibiz:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

fonksiyon hepsinde tanımlanır # RR # gibi # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

İlk türevin sıfıra eşit nerede olduğunu bularak kritik noktaları tespit edebiliriz:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

bu yüzden kritik noktalar:

# x_1 = 1 # ve # x_2 = 3 #

Payda her zaman olumlu olduğu için, işareti #f '(x) # pay işaretinin karşıtıdır # (X ^ 2-4x + 3) #

Şimdi, pozitif öncü katsayısına sahip ikinci dereceden bir polinomun, kökler arasındaki aralık dışında pozitif ve kökler arasındaki aralıktaki negatif olduğunu biliyoruz;

#f '(x) <0 # için #x içinde (-oo, 1) # ve #x, (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # için # (1, 3)

Biz o zaman #f (x) # düşüyor # (- oo, 1) #, artan #(1,3)#, ve tekrar # (3 + oo) '#, Böylece # x_1 = 1 # Yerel minimum olmalı ve # X_2 = 3 # yerel bir maksimum olmalıdır.

grafik {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}