Bu diferansiyel denklemi nasıl çözebilirim?

Cevap:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Açıklama:

Bu bir ayrılabilir diferansiyel denklem, bu sadece grubu gruplamanın mümkün olduğu anlamına gelir # X # şartlar ve • y # denklemin karşı tarafındaki terimler. Yani, ilk önce yapacağımız şey bu:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Şimdi almak istiyoruz y'ler ile yan tarafta dy, ve x'ler ile yan tarafta dx. Yeniden düzenleme yapmak için biraz ihtiyacımız olacak:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Şimdi her iki tarafı da birleştiriyoruz:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Her integrali sırayla yapalım:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Öncelikle, bunu toplama / çıkarma kuralı ile 2 ayrı integrale ayıralım:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Bunlar biraz can sıkıcı görünüyor. Ancak, daha güzel görünmelerini sağlamak için onlara biraz makyaj yapabiliriz (ve çözülmesi çok daha kolay):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Bunların ikisi de artık basit # U #ikame integralleri. Ayarlarsanız #u = -x # ve # -3x # sırasıyla, cevabı şu şekilde alırsınız:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

Negatif üsleri pozitif yaparsak:

#int (ye ^ y) dy #

Bunun için parçaların entegrasyonunu kullanmamız gerekecek. Formül:

#int (uv) dy = uv int (v * du) #

Ayarlayacağız #u = y #, ve #dv = e ^ y dy #. Sebep kolay istediğimizdir # Du # bu nihai entegrasyon için ve ayrıca # E ^ y # entegrasyonu çok kolaydır.

Yani:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Şimdi, sadece fişe takıp tutuyoruz:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = siz ^ y - e ^ y #

Her şeyi geri koymak:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Negatif üstlerden kurtulmak:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

Ve bu oldukça iyi bir son cevap. Çözmek istiyorsan • y #, yapabilirsin ve sonunda olurdun

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Bizim bir dikkatimiz olmadığına dikkat edin. # + C # Bu denklemin LHS üzerinde. Bunun nedeni, onu koysak bile sonuçta onu RHS'den çıkaracağız ve keyfi bir sabit eksi isteğe bağlı bir sabit hala (bunun için bekleyin) keyfi bir sabit. Bu nedenle, bu sorunlar için # + C # denklemin herhangi bir tarafında, iyi olacaksın.

Yardımcı oldu umarım:)