Cevap:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # için #R # RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # için #b = | b | e ^ (itheta) CC # dilinde
Açıklama:
Temel cebir teoremi ile verilen ifadeyi şu şekilde faktörlendirebiliriz:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alfa_k) #
her biri # Alpha_k # bir köküdür # X, ^ 8 + B ^ 8 #.
İçin çözme # Alpha_k #aldık
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = B | (1) ^ (1/8) # (varsayarak #R # RR #)
# = B | (e ^ (i (p + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), ZZ # 'de k
Gibi #k içinde {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # bu formdaki tüm benzersiz değerlerin hesaplarını, #R # RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Daha genel için #b'de CC #öyleyse #b = | b | e ^ (itheta) #bulmak için benzer hesaplamalar yapabiliriz
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (teta / pi + (2k + 1) / 8)) #
anlam
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Üzgünüm, bazı küçük ayrıntıları görmezden geliyorum, sente tarafından verilen cevaplar doğru.
Diyelim #b ne 0 # ve # a, b RR'de # sahibiz
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # sonra
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # sonra
# a-b e ^ (i (2k + l) pi / 8) = 0 # onlar # K = 0,1, cdots, 7 # kökleri veya faktörleri.
Tanımlamak
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
ve sonra
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
yani
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # gerçek katsayılarla.
